Analysis Beispiele

$y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 1

Schreibe $y = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ als Funktion.

$f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 9$ und $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.3.7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $e^{- \frac{x}{4}}$ mit $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 2.4.2.5

Um $e^{- \frac{x}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.4.2.6

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Schritt 2.4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Schritt 2.4.2.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 2.4.2.9

Addiere $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ und $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 2.4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{4}}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.4

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4})) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $e^{- \frac{x}{4}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{4} \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{4}))$

Schritt 3.3.3

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4}))$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) - \frac{5}{4} \cdot (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4})$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + 1 (\frac{5}{4}) \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}) + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}) - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{1}{4} \cdot e^{- \frac{x}{4}} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.5

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.6

Um $- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.7.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} - \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{16} + \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4 + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{- 4 e^{- \frac{x}{4}} + 5 e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 3.4.2.10

Addiere $- 4 e^{- \frac{x}{4}}$ und $5 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{16}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$(x + 9) \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{4}}] + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x}{4}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x}{4}$ .

$(x + 9) (e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $- \frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + 9) e^{- \frac{x}{4}} (- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.3.2

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} \cdot 1) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Schritt 5.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 5.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 5.1.3.7

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} (1 + 0)$

Schritt 5.1.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 1$

Schritt 5.1.3.8.2

Mutltipliziere $e^{- \frac{x}{4}}$ mit $1$ .

$(x + 9) (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.4.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + 9 (- \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}) + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - 9 \frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.1.4.2.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.1.4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}}$

Schritt 5.1.4.2.5

Um $e^{- \frac{x}{4}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.1.4.2.6

Kombiniere $e^{- \frac{x}{4}}$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{9 e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Schritt 5.1.4.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + e^{- \frac{x}{4}} \cdot 4}{4}$

Schritt 5.1.4.2.8

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 9 e^{- \frac{x}{4}} + 4 \cdot e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 5.1.4.2.9

Addiere $- 9 e^{- \frac{x}{4}}$ und $4 e^{- \frac{x}{4}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} + \frac{- 5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 5.1.4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{4}}}{4} - \frac{5 e^{- \frac{x}{4}}}{4} = 0$

Schritt 6.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - 5$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 5$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}}}{16} + \frac{e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(- 5) e^{- \frac{- 5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 5 e^{- - \frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Schritt 10.2.2

Multipliziere $- - \frac{5}{4}$ .

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{1 (\frac{5}{4})} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- \frac{- 5}{4}}}{16}$

Schritt 10.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{- - \frac{5}{4}}}{16}$

Schritt 10.2.4

Multipliziere $- - \frac{5}{4}$ .

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Schritt 10.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{1 (\frac{5}{4})}}{16}$

Schritt 10.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$\frac{- 5 e^{\frac{5}{4}} + e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Schritt 10.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.3.1

Addiere $- 5 e^{\frac{5}{4}}$ und $e^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{- 4 e^{\frac{5}{4}}}{16}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 e^{\frac{5}{4}}$ heraus.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{16}$

Schritt 10.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 (4)}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- e^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 4}$

Schritt 10.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 10.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{\frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 11

$x = - 5$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 5$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 5$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = ((- 5) + 9) \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Addiere $- 5$ und $9$ .

$f (- 5) = 4 \cdot e^{- \frac{- 5}{4}}$

Schritt 12.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 5) = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $4 e^{\frac{5}{4}}$ .

$y = 4 e^{\frac{5}{4}}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = (x + 9) e^{- \frac{x}{4}}$ .

$(- 5, 4 e^{\frac{5}{4}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14