Analysis Beispiele

$y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 1

Schreibe $y = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$ als Funktion.

$f (x) = (\frac{4}{x} + x) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \frac{4}{x} + x$ und $g (x) = \frac{4}{x} - x$ .

$(\frac{4}{x} + x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} - x] + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{x} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(\frac{4}{x} + x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x]) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1 \cdot 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) \frac{d}{d x} [\frac{4}{x} + x]$

Schritt 2.2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{x} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.11

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 x^{- 2} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 x^{- 2} + 1)$

Schritt 2.3.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Schritt 2.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (\frac{- 4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- 4 \frac{1}{x^{2}} + 1)$

Schritt 2.3.3.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (\frac{- 4}{x^{2}} + 1)$

Schritt 2.3.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(\frac{4}{x} + x) (- \frac{4}{x^{2}} - 1) + (\frac{4}{x} - x) (- \frac{4}{x^{2}} + 1)$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.1

Multipliziere $(- \frac{4}{x^{2}} - 1) (\frac{4}{x} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} + x) - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 (\frac{4}{x} + x) + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.2.1.1

Multipliziere $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

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Schritt 2.3.5.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.5.2.1.1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.5.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{x^{2}}$ in den Zähler.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} x - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - 1 \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.4

Schreibe $- 1 \frac{4}{x}$ als $- \frac{4}{x}$ um.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - 1 x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.1.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x} - \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.2.2

Subtrahiere $\frac{4}{x}$ von $- \frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - 2 \frac{4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.3.1

Multipliziere $- 2 \frac{4}{x}$ .

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Schritt 2.3.5.3.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 2 \cdot 4}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x + (- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.4

Multipliziere $(- \frac{4}{x^{2}} + 1) (\frac{4}{x} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} (\frac{4}{x} - x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 (\frac{4}{x} - x)$

Schritt 2.3.5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.5.5.1.1

Multipliziere $- \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{4}{x}$ .

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Schritt 2.3.5.5.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $\frac{4}{x^{2}}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{4 \cdot 4}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x \cdot x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.5.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.5.5.1.1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1} x^{2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{1 + 2}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.1.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} - \frac{4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.5.5.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{x^{2}}$ in den Zähler.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{2}} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (- x) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x \cdot x} (x \cdot - 1) + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4}{x} \cdot - 1 + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.3

Kombiniere $\frac{- 4}{x}$ und $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{- 4 \cdot - 1}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + 1 \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.5

Mutltipliziere $\frac{4}{x}$ mit $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} + 1 (- x)$

Schritt 2.3.5.5.1.6

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{4}{x} + \frac{4}{x} - x$

Schritt 2.3.5.5.2

Addiere $\frac{4}{x}$ und $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + 2 \frac{4}{x} - x$

Schritt 2.3.5.6

Multipliziere $2 \frac{4}{x}$ .

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Schritt 2.3.5.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{2 \cdot 4}{x} - x$

Schritt 2.3.5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$

Schritt 2.3.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- \frac{16}{x^{3}} - \frac{8}{x} - x - \frac{16}{x^{3}} + \frac{8}{x} - x$ .

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $- \frac{8}{x}$ und $\frac{8}{x}$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} + 0 - x$

Schritt 2.3.6.2

Addiere $- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}}$ und $0$ .

$- \frac{16}{x^{3}} - x - \frac{16}{x^{3}} - x$

Schritt 2.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- x - x + \frac{- 16 - 16}{x^{3}}$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $16$ von $- 16$ .

$- x - x + \frac{- 32}{x^{3}}$

Schritt 2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x - x - \frac{32}{x^{3}}$

Schritt 2.3.10

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x - \frac{32}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{32}{x^{3}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{32}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{32}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 32$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 x^{- 4}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 96 (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $96$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{96}{x^{4}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{96}{x^{4}} - 2$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 x - \frac{32}{x^{3}} = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7