Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{x + 6}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2}}{x + 6}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 6}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 6$ .

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 2.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 12}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 2.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 12$ heraus.

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 12)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{({(x + 6)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 12)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x + 12)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 12$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x + 12) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (12)) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (12)) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x (1 + 0) + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x \cdot 1 + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x + (x + 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x + (x + 12) \cdot 1) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.4.6.1

Mutltipliziere $x + 12$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (x + x + 12) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.4.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{2}}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x + 6$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) (2 u \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - x (x + 12) (2 (x + 6) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $x + 6$ aus ${(x + 6)}^{2} (2 x + 12) - 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} [x + 6])$ heraus.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x + 6$ aus ${(x + 6)}^{2} (2 x + 12)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12)) - 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.6.2.2

Faktorisiere $x + 6$ aus $- 2 x (x + 12) ((x + 6) \frac{d}{d x} [x + 6])$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12)) + (x + 6) (- 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.6.2.3

Faktorisiere $x + 6$ aus $(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12)) + (x + 6) (- 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} [x + 6]))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{{(x + 6)}^{4}}$

Schritt 3.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $x + 6$ aus ${(x + 6)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{(x + 6) {(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) ((x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6)))}{(x + 6) {(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x + 6))}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (1 + \frac{d}{d x} (6))}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.10

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) (1 + 0)}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12) \cdot 1}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x (x + 12)}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{(x + 6) (2 x + 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.1.1

Multipliziere $(x + 6) (2 x + 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x + 12) + 6 (2 x + 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 12 + 6 (2 x + 12) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.12.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.12.2.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.2.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot 12 + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.3

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 12 \cdot x + 6 (2 x) + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 12 x + 12 x + 6 \cdot 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $12$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 12 x + 12 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.2.2

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.12.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 12}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x^{2} - 24 x}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{2} + 24 x + 72 - 2 x^{2} - 24 x$ .

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Schritt 3.12.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{24 x + 72 + 0 - 24 x}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2.2

Addiere $24 x + 72$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{24 x + 72 - 24 x}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2.3

Subtrahiere $24 x$ von $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 72}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 3.12.2.2.4

Addiere $0$ und $72$ .

$f'' (x) = \frac{72}{{(x + 6)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$\frac{(x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 6]}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x + 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 6) x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 6 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 x^{2} + 12 x - x^{2}}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 5.1.3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x + 12 x}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 12}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 12$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x (x + 12) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $x + 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $x + 12$ gleich $0$ .

$x + 12 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 12$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 12) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 12$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{x (x + 12)}{{(x + 6)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 12$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{72}{{((0) + 6)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Addiere $0$ und $6$ .

$\frac{72}{6^{3}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{72}{216}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $216$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $72$ aus $72$ heraus.

$\frac{72 (1)}{216}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $72$ aus $216$ heraus.

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{(0) + 6}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 6}$

Schritt 12.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f (0) = \frac{0}{6}$

Schritt 12.2.3

Dividiere $0$ durch $6$ .

$f (0) = 0$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 12$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{72}{{((- 12) + 6)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.1

Addiere $- 12$ und $6$ .

$\frac{72}{{(- 6)}^{3}}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{72}{- 216}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $- 216$ .

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Schritt 14.2.1.1

Faktorisiere $72$ aus $72$ heraus.

$\frac{72 (1)}{- 216}$

Schritt 14.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.1.2.1

Faktorisiere $72$ aus $- 216$ heraus.

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Schritt 14.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{72 \cdot 1}{72 \cdot - 3}$

Schritt 14.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3}$

Schritt 14.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 15

$x = - 12$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 12$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 12$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f (- 12) = \frac{{(- 12)}^{2}}{(- 12) + 6}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f (- 12) = \frac{144}{- 12 + 6}$

Schritt 16.2.2

Addiere $- 12$ und $6$ .

$f (- 12) = \frac{144}{- 6}$

Schritt 16.2.3

Dividiere $144$ durch $- 6$ .

$f (- 12) = - 24$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 24$ .

$y = - 24$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 6}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(- 12, - 24)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18