Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2} + 0$

Schritt 3.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 1 + x^{- 2}$

Schritt 3.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 5.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x - \frac{1}{x}$ .

$x - \frac{1}{x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x - \frac{1}{x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x - \frac{1}{x} = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{1}{x} = 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{1}{x} = 0$ mit $x$ .

$x \cdot x - \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - \frac{1}{x} x = 0 x$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{- 1}{x} x = 0 x$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 1 = 0 x$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1$

Schritt 6.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 6.4.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 6.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 6.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 6.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1} + 1$

Schritt 10.1.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + 1$

Schritt 10.2

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - \ln (1)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{2} - \ln (1)$

Schritt 12.2.1.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 0$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ .

$(1, \frac{1}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14