Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{10}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $2 x^{4}$ durch $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 x^{4} - 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{- 12}{4}$ und $x^{3}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 2.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{4} + \frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.7.2.4

Dividiere $- 3 x^{3}$ durch $1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{4}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 1$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} - 9 x^{2} - 6 x + 2$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{5}}{5}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $\frac{2}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{5}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.5

Kombiniere $\frac{10}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $5$ .

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Schritt 5.1.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $10 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.2.6.2.4

Dividiere $2 x^{4}$ durch $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$2 x^{4} - \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$2 x^{4} - 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{4}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.6

Kombiniere $\frac{- 12}{4}$ und $x^{3}$ .

$2 x^{4} + \frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 5.1.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{4} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{4} + \frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.3.7.2.4

Dividiere $- 3 x^{3}$ durch $1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 5.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{4}$ heraus.

$x (2 x^{3}) - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) - 3 x^{2} + 2 x = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + x (- 3 x) + 2 x = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 6.2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{3}) + x (- 3 x^{2})$ heraus.

$x (2 x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 6.2.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{3} - 3 x^{2}) + x (- 3 x)$ heraus.

$x (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x) + x \cdot 2 = 0$

Schritt 6.2.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x) + x \cdot 2$ heraus.

$x (2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 6.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Schritt 6.2.2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.2.2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 3 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.2.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 3 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 2 - 3 - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.2.3.6

Subtrahiere $3$ von $- 2$ .

$- 5 - 3 \cdot - 1 + 2$

Schritt 6.2.2.3.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 5 + 3 + 2$

Schritt 6.2.2.3.8

Addiere $- 5$ und $3$ .

$- 2 + 2$

Schritt 6.2.2.3.9

Addiere $- 2$ und $2$ .

$0$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2}{x + 1}$

Schritt 6.2.2.5

Dividiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ durch $x + 1$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$2$

Schritt 6.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Schritt 6.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 6.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 6.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} - 5 x$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 6.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$

Schritt 6.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Schritt 6.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 2$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Schritt 6.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Schritt 6.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - 5 x + 2$

Schritt 6.2.2.6

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2$ als eine Menge von Faktoren.

$x ((x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.3.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 6.2.3.1.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$x ((x + 1) (2 x^{2} - 5 x + 2)) = 0$

Schritt 6.2.3.1.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$x ((x + 1) (2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2)) = 0$

Schritt 6.2.3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x ((x + 1) (2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2)) = 0$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.3.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x ((x + 1) ((2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2)) = 0$

Schritt 6.2.3.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x ((x + 1) (x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1))) = 0$

Schritt 6.2.3.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$x ((x + 1) ((2 x - 1) (x - 2))) = 0$

Schritt 6.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$x ((x + 1) (2 x - 1) (x - 2)) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$x (x + 1) (2 x - 1) (x - 2) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.6

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 6.6.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 6.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 1) (2 x - 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, \frac{1}{2}, 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 1, \frac{1}{2}, 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$8 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 \cdot 0 - 9 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2} - 6 \cdot 0 + 2$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 9 \cdot 0 - 6 \cdot 0 + 2$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$0 + 0 - 6 \cdot 0 + 2$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 2$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 2$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 2$

Schritt 10.2.3

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{5} - \frac{3 {(0)}^{4}}{4} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(0)}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(0)}^{4}}{4} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 {(0)}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4}}{4} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(0)}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(0)}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3 {(0)}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.5

Schreibe $- {(0)}^{3}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3}}{1} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- {(0)}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{- {(0)}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + {(0)}^{2}$

Schritt 12.2.1.8

Schreibe ${(0)}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2}}{1}$

Schritt 12.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{(0)}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 12.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{(0)}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.1.11

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 4$ um.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.1.12

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(0)}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(0)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{5} \cdot 4 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0 \cdot 4 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.2

Multipliziere $2 \cdot 0 \cdot 4$ .

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Schritt 12.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 \cdot 4 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$f (0) = \frac{0 - 3 {(0)}^{4} \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 3 \cdot 0 \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.4

Multipliziere $- 3 \cdot 0 \cdot 5$ .

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Schritt 12.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 5 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $5$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 - {(0)}^{3} \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.6

Multipliziere $- 0 \cdot 20$ .

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Schritt 12.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 \cdot 20 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $20$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 + {(0)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \cdot 20}{20}$

Schritt 12.2.3.8

Mutltipliziere $0$ mit $20$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0}{20}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.4.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0}{20}$

Schritt 12.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0}{20}$

Schritt 12.2.4.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \frac{0}{20}$

Schritt 12.2.4.4

Dividiere $0$ durch $20$ .

$f (0) = 0$

Schritt 12.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$8 {(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 2$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 \cdot - 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 2$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 8 - 9 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 2$

Schritt 14.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 8 - 9 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 2$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$- 8 - 9 - 6 \cdot - 1 + 2$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 8 - 9 + 6 + 2$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Subtrahiere $9$ von $- 8$ .

$- 17 + 6 + 2$

Schritt 14.2.2

Addiere $- 17$ und $6$ .

$- 11 + 2$

Schritt 14.2.3

Addiere $- 11$ und $2$ .

$- 9$

Schritt 15

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(- 1)}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 {(- 1)}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(- 1)}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3 {(- 1)}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.5

Schreibe $- {(- 1)}^{3}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3}}{1} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- {(- 1)}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{- {(- 1)}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + {(- 1)}^{2}$

Schritt 16.2.1.8

Schreibe ${(- 1)}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2}}{1}$

Schritt 16.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{(- 1)}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 16.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{(- 1)}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.1.11

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 4$ um.

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.1.12

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(- 1)}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(- 1)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{5} \cdot 4 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.3.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot - 1 \cdot 4 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.2

Multipliziere $2 \cdot - 1 \cdot 4$ .

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Schritt 16.2.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 2 \cdot 4 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 3 {(- 1)}^{4} \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 3 \cdot 1 \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.4

Multipliziere $- 3 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Schritt 16.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 3 \cdot 5 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 - {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + (- 1) {(- 1)}^{3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + {(- 1)}^{1 + 3} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.5.2

Addiere $1$ und $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + {(- 1)}^{4} \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 1 \cdot 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.7

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 20 + {(- 1)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 20 + 1 \cdot 20}{20}$

Schritt 16.2.3.9

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 8 - 15 + 20 + 20}{20}$

Schritt 16.2.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 16.2.4.1

Subtrahiere $15$ von $- 8$ .

$f (- 1) = \frac{- 23 + 20 + 20}{20}$

Schritt 16.2.4.2

Addiere $- 23$ und $20$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 20}{20}$

Schritt 16.2.4.3

Addiere $- 3$ und $20$ .

$f (- 1) = \frac{17}{20}$

Schritt 16.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{17}{20}$ .

$y = \frac{17}{20}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$8 {(\frac{1}{2})}^{3} - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$8 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$8 \frac{1}{2^{3}} - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 (\frac{1}{8}) - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 18.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{1}{8}) - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 - 9 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 9 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 - 9 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.8

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{4}$ .

$1 + \frac{- 9}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{9}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 2$

Schritt 18.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$1 - \frac{9}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 2$

Schritt 18.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - \frac{9}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 2$

Schritt 18.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Schritt 18.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 18.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Schritt 18.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} - 3 + 2$

Schritt 18.2.4

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3}{1} + 2$

Schritt 18.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Schritt 18.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 2$

Schritt 18.2.7

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Schritt 18.2.8

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 18.2.9

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} - \frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 - 9 - 3 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 18.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{4 - 9 - 12 + 2 \cdot 4}{4}$

Schritt 18.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4 - 9 - 12 + 8}{4}$

Schritt 18.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 18.5.1

Subtrahiere $9$ von $4$ .

$\frac{- 5 - 12 + 8}{4}$

Schritt 18.5.2

Subtrahiere $12$ von $- 5$ .

$\frac{- 17 + 8}{4}$

Schritt 18.5.3

Addiere $- 17$ und $8$ .

$\frac{- 9}{4}$

Schritt 18.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{4}$

Schritt 19

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.5

Schreibe $- {(\frac{1}{2})}^{3}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.8

Schreibe ${(\frac{1}{2})}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$

Schritt 20.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 20.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

Schritt 20.2.1.11

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 4$ um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.1.12

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1^{5}}{2^{5}}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2^{5}}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.3

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{32}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2 (16)}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 (\frac{1}{2 \cdot 16}) \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{16} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4 (4)} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot 4 - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 {(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 \frac{1^{4}}{2^{4}} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 \frac{1}{2^{4}} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.8

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{16}) \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{- 3}{16} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{3}{16} \cdot 5 - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.11

Multipliziere $- \frac{3}{16} \cdot 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.11.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - 5 (\frac{3}{16}) - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.11.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{- 5 \cdot 3}{16} - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.11.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} + \frac{- 15}{16} - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.13

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{1}{2^{3}} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.15

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{1}{8} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.3.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{8}$ in den Zähler.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{8} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.16.2

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot 20 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.16.3

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 5) + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 5) + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.16.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1}{2} \cdot 5 + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.17

Kombiniere $\frac{- 1}{2}$ und $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 1 \cdot 5}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} + \frac{- 5}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.20

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.21

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{2^{2}} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.22

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot 20}{20}$

Schritt 20.2.3.23

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 20.2.3.23.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (5))}{20}$

Schritt 20.2.3.23.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 5)}{20}$

Schritt 20.2.3.23.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + 5}{20}$

Schritt 20.2.4

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 20.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + 5}{20}$

Schritt 20.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5}{2} + 5}{20}$

Schritt 20.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - (\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{8}) + 5}{20}$

Schritt 20.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + 5}{20}$

Schritt 20.2.4.5

Schreibe $5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5}{1}}{20}$

Schritt 20.2.4.6

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5}{1} \cdot \frac{16}{16}}{20}$

Schritt 20.2.4.7

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 16}{16}}{20}$

Schritt 20.2.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{16} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 16}{16}}{20}$

Schritt 20.2.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{16} - \frac{15}{16} - \frac{5 \cdot 8}{16} + \frac{5 \cdot 16}{16}}{20}$

Schritt 20.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 - 15 - 5 \cdot 8 + 5 \cdot 16}{16}}{20}$

Schritt 20.2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 - 15 - 40 + 5 \cdot 16}{16}}{20}$

Schritt 20.2.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4 - 15 - 40 + 80}{16}}{20}$

Schritt 20.2.7

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 20.2.7.1

Subtrahiere $15$ von $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 11 - 40 + 80}{16}}{20}$

Schritt 20.2.7.2

Subtrahiere $40$ von $- 11$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 51 + 80}{16}}{20}$

Schritt 20.2.7.3

Addiere $- 51$ und $80$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{29}{16}}{20}$

Schritt 20.2.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{29}{16} \cdot \frac{1}{20}$

Schritt 20.2.9

Multipliziere $\frac{29}{16} \cdot \frac{1}{20}$ .

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Schritt 20.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{29}{16}$ mit $\frac{1}{20}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{29}{16 \cdot 20}$

Schritt 20.2.9.2

Mutltipliziere $16$ mit $20$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{29}{320}$

Schritt 20.2.10

Die endgültige Lösung ist $\frac{29}{320}$ .

$y = \frac{29}{320}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$8 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 2$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 2$

Schritt 22.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$64 - 9 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 2$

Schritt 22.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$64 - 9 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 2$

Schritt 22.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$64 - 36 - 6 \cdot 2 + 2$

Schritt 22.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$64 - 36 - 12 + 2$

Schritt 22.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 22.2.1

Subtrahiere $36$ von $64$ .

$28 - 12 + 2$

Schritt 22.2.2

Subtrahiere $12$ von $28$ .

$16 + 2$

Schritt 22.2.3

Addiere $16$ und $2$ .

$18$

Schritt 23

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5}}{5} - \frac{3 {(2)}^{4}}{4} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 24.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2 {(2)}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5}}{5} \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 {(2)}^{4}}{4} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{2 {(2)}^{5}}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4}}{4} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(2)}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - (\frac{3 {(2)}^{4}}{4} \cdot \frac{5}{5}) - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3 {(2)}^{4}}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} - {(2)}^{3} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.5

Schreibe $- {(2)}^{3}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3}}{1} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- {(2)}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3}}{1} \cdot \frac{20}{20} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.7

Mutltipliziere $\frac{- {(2)}^{3}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + {(2)}^{2}$

Schritt 24.2.1.8

Schreibe ${(2)}^{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2}}{1}$

Schritt 24.2.1.9

Mutltipliziere $\frac{{(2)}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2}}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Schritt 24.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{(2)}^{2}}{1}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.1.11

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 4$ um.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{4 \cdot 5} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.1.12

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{4 \cdot 5} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4}{20} - \frac{3 {(2)}^{4} \cdot 5}{20} + \frac{- {(2)}^{3} \cdot 20}{20} + \frac{{(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.3.1

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 24.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{5}$ .

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Schritt 24.2.3.1.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f (2) = \frac{2 {(2)}^{5} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2) = \frac{2^{1 + 5} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.1.2

Addiere $1$ und $5$ .

$f (2) = \frac{2^{6} \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f (2) = \frac{64 \cdot 4 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.3

Mutltipliziere $64$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{256 - 3 {(2)}^{4} \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{256 - 3 \cdot 16 \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.5

Multipliziere $- 3 \cdot 16 \cdot 5$ .

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Schritt 24.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $16$ .

$f (2) = \frac{256 - 48 \cdot 5 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.5.2

Mutltipliziere $- 48$ mit $5$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - {(2)}^{3} \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 1 \cdot 8 \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.7

Multipliziere $- 1 \cdot 8 \cdot 20$ .

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Schritt 24.2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 8 \cdot 20 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.7.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $20$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 160 + {(2)}^{2} \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 160 + 4 \cdot 20}{20}$

Schritt 24.2.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $20$ .

$f (2) = \frac{256 - 240 - 160 + 80}{20}$

Schritt 24.2.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.2.4.1

Subtrahiere $240$ von $256$ .

$f (2) = \frac{16 - 160 + 80}{20}$

Schritt 24.2.4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 24.2.4.2.1

Subtrahiere $160$ von $16$ .

$f (2) = \frac{- 144 + 80}{20}$

Schritt 24.2.4.2.2

Addiere $- 144$ und $80$ .

$f (2) = \frac{- 64}{20}$

Schritt 24.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64$ und $20$ .

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Schritt 24.2.4.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$f (2) = \frac{4 (- 16)}{20}$

Schritt 24.2.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.2.4.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (2) = \frac{4 \cdot - 16}{4 \cdot 5}$

Schritt 24.2.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{4 \cdot - 16}{4 \cdot 5}$

Schritt 24.2.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \frac{- 16}{5}$

Schritt 24.2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = - \frac{16}{5}$

Schritt 24.2.5

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{5}$ .

$y = - \frac{16}{5}$

Schritt 25

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{2 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{4} - x^{3} + x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, \frac{17}{20})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{1}{2}, \frac{29}{320})$ ist ein lokales Maximum

$(2, - \frac{16}{5})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 26