Analysis Beispiele

$y = e^{11 x}$

Schritt 1

Schreibe $y = e^{11 x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{11 x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 11 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $11 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $11 x$ .

$e^{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{11 x} (11 \cdot 1)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$e^{11 x} \cdot 11$

Schritt 2.2.3.2

Bringe $11$ auf die linke Seite von $e^{11 x}$ .

$11 e^{11 x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 e^{11 x}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [e^{11 x}]$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (e^{11 x})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 11 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $11 x$ .

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (11 x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 11 (e^{u} \frac{d}{d x} (11 x))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $11 x$ .

$f'' (x) = 11 (e^{11 x} \frac{d}{d x} (11 x))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 11 e^{11 x} (11 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $11$ mit $11$ .

$f'' (x) = 121 e^{11 x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 121 e^{11 x} \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $121$ mit $1$ .

$f'' (x) = 121 e^{11 x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$11 e^{11 x} = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7