Analysis Beispiele

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Schritt 1

Schreibe $y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ als Funktion.

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{- x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $- 3 e^{- x} + e^{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 e^{- x}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

Schritt 5.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

Schritt 6.2

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

Schritt 6.3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

Schritt 6.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

Schritt 6.5

Stelle $\frac{3}{u}$ und $u$ um.

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

Schritt 6.6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1, 1$

Schritt 6.6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 6.6.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.6.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Schritt 6.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Schritt 6.6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 6.6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

Schritt 6.6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

Schritt 6.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $u$ .

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

Schritt 6.6.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.6.3.1

Faktorisiere $u^{2} + 3 - 4 u$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.6.3.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $3$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 3, - 1$

Schritt 6.6.3.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Schritt 6.6.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 6.6.3.3

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.6.3.3.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 6.6.3.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 6.6.3.4

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.6.3.4.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.6.3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6.6.3.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 3, 1$

Schritt 6.7

Setze $3$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$3 = e^{x}$

Schritt 6.8

Löse $3 = e^{x}$ .

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Schritt 6.8.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 3$ um.

$e^{x} = 3$

Schritt 6.8.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

Schritt 6.8.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.8.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (3)$

Schritt 6.8.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (3)$

Schritt 6.8.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (3)$

Schritt 6.9

Setze $1$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$1 = e^{x}$

Schritt 6.10

Löse $1 = e^{x}$ .

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Schritt 6.10.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = 1$ um.

$e^{x} = 1$

Schritt 6.10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Schritt 6.10.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.10.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 6.10.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 6.10.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (1)$

Schritt 6.10.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (3), 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \ln (3), 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \ln (3)$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

Schritt 10.1.2

Vereinfache $- (\ln (3))$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

Schritt 10.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 10.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 10.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 10.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$3 - 1$

Schritt 10.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$2$

Schritt 11

$x = \ln (3)$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \ln (3)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \ln (3)$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (3)$ .

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.2

Vereinfache $- (\ln (3))$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

Schritt 12.2.1.6

Vereinfache $- 4 \ln (3)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

Schritt 12.2.1.7

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 - \ln (81)$ .

$y = 2 - \ln (81)$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - 3 e^{- (0)}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$1 - 3 e^{0}$

Schritt 14.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - 3 \cdot 1$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$1 - 3$

Schritt 14.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2$

Schritt 15

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

Schritt 16.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

Schritt 16.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

Schritt 16.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

Schritt 16.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = 1 - 3 + 0$

Schritt 16.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 16.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (0) = - 2 + 0$

Schritt 16.2.2.2

Addiere $- 2$ und $0$ .

$f (0) = - 2$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ .

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ ist ein lokales Minimum

$(0, - 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18