Analysis Beispiele

$y = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = e^{3 x} - 6 e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} - 6 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} - 6 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 e^{3 x} - 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 e^{3 x} - 6 e^{x} = 0$

Schritt 6.2

Bringe $- 6 e^{x}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$3 e^{3 x} = 6 e^{x}$

Schritt 6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Schritt 6.4

Multipliziere die linke Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Schreibe $\ln (3 e^{3 x})$ als $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ um.

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (6 e^{x})$

Schritt 6.4.2

Zerlege $\ln (e^{3 x})$ durch Herausziehen von $3 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (6 e^{x})$

Schritt 6.4.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (6 e^{x})$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6 e^{x})$

Schritt 6.5

Multipliziere die rechte Seite aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Schreibe $\ln (6 e^{x})$ als $\ln (6) + \ln (e^{x})$ um.

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + \ln (e^{x})$

Schritt 6.5.2

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \ln (e)$

Schritt 6.5.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x \cdot 1$

Schritt 6.5.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (6) + x$

Schritt 6.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (3) - \ln (6) = - 3 x + x$

Schritt 6.7

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{3}{6}) = - 3 x + x$

Schritt 6.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\ln (\frac{3 (1)}{6}) = - 3 x + x$

Schritt 6.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Schritt 6.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}) = - 3 x + x$

Schritt 6.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{1}{2}) = - 3 x + x$

Schritt 6.9

Addiere $- 3 x$ und $x$ .

$\ln (\frac{1}{2}) = - 2 x$

Schritt 6.10

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 6.11

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = \ln (\frac{1}{2})$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Schritt 6.11.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Schritt 6.11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{- 2}$

Schritt 6.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ um.

$9 e^{3 (- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$9 e^{3 (- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$9 e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.5

Multipliziere $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.5.2

Vereinfache $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$9 e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.6

Vereinfache $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$9 e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.7

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$9 {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.8

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$9 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.9

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.10

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}}$

Schritt 10.11

Schreibe $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ um.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- (\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2}))}$

Schritt 10.12

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 10.13

Vereinfache $- \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})}$

Schritt 10.14

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Schritt 10.15

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.15.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}$

Schritt 10.15.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 10.15.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 10.16

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$9 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ um.

$y = - (\frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{2}))$

Schritt 12.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{2})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 12.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = - \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1.1

Multipliziere $3 (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.1.2

Vereinfache $- 3 \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.2

Vereinfache $- \ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = e^{\ln ({({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1})} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{3 \cdot - 1} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.5

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 3} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.6.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}$

Schritt 12.3.1.7

Vereinfache $- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 e^{\ln ({(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1})}$

Schritt 12.3.1.8

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 {(\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})}^{- 1}$

Schritt 12.3.1.9

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$f (- \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}})) = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.3.2

Die endgültige Lösung ist $2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{3 x} - 6 e^{x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2}, 2^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14