Analysis Beispiele

$y = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{7}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{7}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 2.8.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$7 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 2.10

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.12

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 7 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.13.1

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- \frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

Schritt 3.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

Schritt 3.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{7}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 3.10

Multipliziere.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{7}{2}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{7 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12

Multipliziere.

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Schritt 3.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Schritt 3.12.3

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{7}{2 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7