Analysis Beispiele

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ als Funktion.

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $\frac{5}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ nach $x$ gleich $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$ .

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{1}{2} x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\frac{5}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{2} x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{1}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\cos (\frac{x}{2})$ und $\frac{5}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{x}{2}) \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{x}{2})$ .

$\frac{5 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ mit $1$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Schritt 3.3.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} x$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Schritt 5

Setze den Zähler gleich Null.

$5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ durch $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

Schritt 6.1.2.1.2

Dividiere $\cos (\frac{x}{2})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{5}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Schritt 6.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 6.4

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 6.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.6.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.6.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Schritt 6.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.2.2.1

Vereinfache $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 6.6.2.2.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 6.6.2.2.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Schritt 6.6.2.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.6.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.6.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.6.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Schritt 6.6.2.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = 4 π - π$

Schritt 6.6.2.2.1.6

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = 3 π$

Schritt 6.7

Die Lösung der Gleichung $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{8}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 8.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 \cdot 1}{8}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{5}{8}$

Schritt 9

$x = π$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = π$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (π))$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.2.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot 1$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $1$ .

$f (π) = \frac{5}{2}$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 3 π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{8}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{8}$

Schritt 12.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5 \cdot - 1}{8}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 5}{8}$

Schritt 12.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5}{8}$

Schritt 12.3

Multipliziere $- - \frac{5}{8}$ .

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{5}{8})$

Schritt 12.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $1$ .

$\frac{5}{8}$

Schritt 13

$x = 3 π$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 3 π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 3 π$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3 π$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (3 π))$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (3 π)$ .

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Schritt 14.2.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} \cdot π)$

Schritt 14.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $π$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.2.2

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 14.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot - 1$

Schritt 14.2.5

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 14.2.5.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$f (3 π) = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Schritt 14.2.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (3 π) = \frac{- 5}{2}$

Schritt 14.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3 π) = - \frac{5}{2}$

Schritt 14.2.7

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{5}{2}$

Schritt 15

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$(π, \frac{5}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(3 π, - \frac{5}{2})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16