Analysis Beispiele

$y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ als ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x - 63$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 2.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 2.3.7

Da $- 63$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 63$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Schritt 2.3.8

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ um.

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.7

Mutltipliziere $- 2 x + 8$ mit $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 8$ heraus.

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Schritt 2.4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (4)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.10

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.12

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 2.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 4$ und $g (x) = {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 8 x - 63)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 8 x - 63$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - (x - 4) (2 (x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 63$ aus ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 63$ aus ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) - 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 63$ aus $- 2 (x - 4) ((x^{2} - 8 x - 63) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$ heraus.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 63$ aus $(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63) + (x^{2} - 8 x - 63) (- 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63]))$ heraus.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $x^{2} - 8 x - 63$ aus ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 10 \frac{(x^{2} - 8 x - 63) (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63)))}{(x^{2} - 8 x - 63) {(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x - 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x - 63$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.9

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 63))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.12

Da $- 63$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 63$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.13.1

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.13.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 - 2 (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 (x^{2} - 8 x - 63 + (- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} + 10 (- 8 x) + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.14.3.1.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x + 10 \cdot - 63 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 63$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x - 2 \cdot - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 ((- 2 x + 8) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.4

Multipliziere $(- 2 x + 8) (2 x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.14.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x - 8) + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.14.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.14.3.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.3.1.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} - 2 x \cdot - 8 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.1.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x + 8 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 16 x + 16 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.5.2

Addiere $16 x$ und $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2} + 32 x - 64)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 + 10 (- 4 x^{2}) + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.14.3.1.7.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 10 (32 x) + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.7.2

Mutltipliziere $32$ mit $10$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x + 10 \cdot - 64}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.7.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 64$ .

$f'' (x) = - \frac{10 x^{2} - 80 x - 630 - 40 x^{2} + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.2

Subtrahiere $40 x^{2}$ von $10 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} - 80 x - 630 + 320 x - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.3

Addiere $- 80 x$ und $320 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 630 - 640}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.4

Subtrahiere $640$ von $- 630$ .

$f'' (x) = - \frac{- 30 x^{2} + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.4

Faktorisiere $10$ aus $- 30 x^{2} + 240 x - 1270$ heraus.

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Schritt 3.14.4.1

Faktorisiere $10$ aus $- 30 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 240 x - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.2

Faktorisiere $10$ aus $240 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) - 1270}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.3

Faktorisiere $10$ aus $- 1270$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.4

Faktorisiere $10$ aus $10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.5

Faktorisiere $10$ aus $10 (- 3 x^{2} + 24 x) + 10 (- 127)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 3 x^{2} + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) + 24 x - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.6

Faktorisiere $- 1$ aus $24 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2}) - (- 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 24 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.8

Schreibe $- 127$ als $- 1 (127)$ um.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x) - 1 \cdot 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 24 x) - 1 (127)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{10 (- (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.10

Schreibe $- (3 x^{2} - 24 x + 127)$ als $- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127)$ um.

$f'' (x) = - \frac{10 (- 1 (3 x^{2} - 24 x + 127))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 3.14.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}})$

Schritt 3.14.13

Mutltipliziere $\frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (3 x^{2} - 24 x + 127)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 5.1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}]$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 8 x - 63}$ als ${(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 1}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 8 x - 63$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 8 x - 63$ .

$5 (- {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 ({(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x - 63])$

Schritt 5.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x - 63$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 5.1.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 5.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 5.1.3.6

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 63])$

Schritt 5.1.3.7

Da $- 63$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 63$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8 + 0)$

Schritt 5.1.3.8

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$- 5 {(x^{2} - 8 x - 63)}^{- 2} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.4.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} (2 x - 8)$ um.

$- (2 x - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$(- 2 x + 8) \frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.7

Mutltipliziere $- 2 x + 8$ mit $\frac{5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 8$ heraus.

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Schritt 5.1.4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 8) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 2 (4)) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (4)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 4) \cdot 5}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 (- x + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{10 (- (x) + 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.10

Schreibe $4$ als $- 1 (- 4)$ um.

$\frac{10 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 4)$ heraus.

$\frac{10 (- (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.12

Schreibe $- (x - 4)$ als $- 1 (x - 4)$ um.

$\frac{10 (- 1 (x - 4))}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$10 (x - 4) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 (x - 4) = 0$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $10 (x - 4) = 0$ durch $10$ .

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (x - 4)}{10} = \frac{0}{10}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 4$ durch $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{10}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $10$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{10 (x - 4)}{{(x^{2} - 8 x - 63)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 8 x - 63)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x^{2} - 8 x - 63 = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x^{2} - 8 x - 63 = 0$

Schritt 7.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 8$ und $c = - 63$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Schritt 7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.3

Addiere $64$ und $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.4

Schreibe $316$ als $2^{2} \cdot 79$ um.

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Schritt 7.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $316$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Schritt 7.2.5.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Schritt 7.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.1.3

Addiere $64$ und $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.1.4

Schreibe $316$ als $2^{2} \cdot 79$ um.

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Schritt 7.2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $316$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Schritt 7.2.6.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Schritt 7.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 4 + \sqrt{79}$

Schritt 7.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.7.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ .

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Schritt 7.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 63$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 252}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.1.3

Addiere $64$ und $252$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.1.4

Schreibe $316$ als $2^{2} \cdot 79$ um.

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Schritt 7.2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $316$ heraus.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (79)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$

Schritt 7.2.7.3

Vereinfache $\frac{8 \pm 2 \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{79}$

Schritt 7.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 4 - \sqrt{79}$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 4 + \sqrt{79}, 4 - \sqrt{79}$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 4 - \sqrt{79}, x = 4 + \sqrt{79}$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10 (3 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 127)}{{({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{10 (3 \cdot 16 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$\frac{10 (48 - 24 \cdot 4 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $4$ .

$\frac{10 (48 - 96 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.1.4

Subtrahiere $96$ von $48$ .

$\frac{10 (- 48 + 127)}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.1.5

Addiere $- 48$ und $127$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(4^{2} - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 8 \cdot 4 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(16 - 32 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 16 - 63)}^{3}}$

Schritt 10.2.4

Subtrahiere $63$ von $- 16$ .

$\frac{10 \cdot 79}{{(- 79)}^{3}}$

Schritt 10.2.5

Potenziere $- 79$ mit $3$ .

$\frac{10 \cdot 79}{- 493039}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $79$ .

$\frac{790}{- 493039}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $790$ und $- 493039$ .

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $79$ aus $790$ heraus.

$\frac{79 (10)}{- 493039}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $79$ aus $- 493039$ heraus.

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{79 \cdot 10}{79 \cdot - 6241}$

Schritt 10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{- 6241}$

Schritt 10.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{6241}$

Schritt 11

$x = 4$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{5}{{(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 63}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 8 \cdot 4 - 63}$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f (4) = \frac{5}{16 - 32 - 63}$

Schritt 12.2.1.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 16 - 63}$

Schritt 12.2.1.4

Subtrahiere $63$ von $- 16$ .

$f (4) = \frac{5}{- 79}$

Schritt 12.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (4) = - \frac{5}{79}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5}{79}$ .

$y = - \frac{5}{79}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{5}{x^{2} - 8 x - 63}$ .

$(4, - \frac{5}{79})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14