Analysis Beispiele

$y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Schritt 1

Schreibe $y = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ als Funktion.

$f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3}{2} x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{3}{2} x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3}{2} x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x])$

Schritt 2.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$- \frac{3}{2} (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere.

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Schritt 2.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Schritt 2.3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} (\sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $\sin (\frac{3 x}{2})$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sin (\frac{3 x}{2}) \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Schritt 2.3.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$\frac{3 \cdot \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.2

Multipliziere.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ mit $1$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{9}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4}$ nach $x$ gleich $\frac{9}{4} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\sin (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{9}{4} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\cos (\frac{3 x}{2})$ und $\frac{9}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Schritt 3.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2})$

Schritt 3.3.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.3.4.2

Multipliziere.

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Schritt 3.3.4.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8} \cdot 1$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $\frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{8}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{4} = 0$

Schritt 5

Setze den Zähler gleich Null.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Teile jeden Ausdruck in $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ durch $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Schritt 6.1.2.1.2

Dividiere $\sin (\frac{3 x}{2})$ durch $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Dividiere $0$ durch $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Schritt 6.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Schritt 6.4

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x = 0$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 6.6

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Schritt 6.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 6.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.7.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Schritt 6.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.7.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 6.7.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 6.7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.7.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 6.7.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 6.7.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Schritt 6.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.7.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Schritt 6.7.2.2.1.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Schritt 6.7.2.2.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.8

Die Lösung der Gleichung $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{8}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (0)$ heraus.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{8}$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{8}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{8}$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{8}$

Schritt 8.1.2.4

Dividiere $3 \cdot (0)$ durch $1$ .

$\frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{8}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{27 \cos (0)}{8}$

Schritt 8.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{27 \cdot 1}{8}$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$\frac{27}{8}$

Schritt 9

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (0)$

Schritt 10.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (0) = - \frac{3}{2}$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{8}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{8}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 π}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 π$ heraus.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{8}$

Schritt 12.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{8}$

Schritt 12.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{8}$

Schritt 12.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{8}$

Schritt 12.3.2

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{8}$

Schritt 12.4.1.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$\frac{27 \cos (π)}{8}$

Schritt 12.4.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{27 (- \cos (0))}{8}$

Schritt 12.4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{27 (- 1 \cdot 1)}{8}$

Schritt 12.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{27 \cdot - 1}{8}$

Schritt 12.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.5.1

Mutltipliziere $27$ mit $- 1$ .

$\frac{- 27}{8}$

Schritt 12.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{27}{8}$

Schritt 13

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{2 π}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Schritt 14.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Schritt 14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Schritt 14.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Schritt 14.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (π)$

Schritt 14.2.3

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- \cos (0))$

Schritt 14.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 14.2.6

Multipliziere $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 14.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 (\frac{3}{2})$

Schritt 14.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2}$

Schritt 14.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 15

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - \frac{3}{2} \cdot \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, - \frac{3}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{2 π}{3}, \frac{3}{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16