Analysis Beispiele

$y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.5.5.3

Kombiniere $27$ und $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ heraus.

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Schritt 2.6.2.1.1

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ heraus.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.2.1.2

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ heraus.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.2.1.3

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ heraus.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.2.4

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und ${(x + 1)}^{6}$ .

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Schritt 2.6.3.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 2.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.3.2.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.5

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.7

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{27 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ nach $x$ gleich $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 3.2

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{({(x + 1)}^{4})}^{2}}$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{4})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.5.6.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - x (x - 2) (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus ${(x + 1)}^{4} (2 x - 2)$ heraus.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) - 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus $- 4 x (x - 2) ({(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$ heraus.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.7.2.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus ${(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2)) + {(x + 1)}^{3} (- 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ heraus.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{8}}$

Schritt 3.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{3}$ aus ${(x + 1)}^{8}$ heraus.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 27 \frac{{(x + 1)}^{3} ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1)))}{{(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.11

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2) \cdot 1}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.12.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 27 \frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.12.3

Kombiniere $- 27$ und $\frac{(x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.12.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x (x - 2))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2) - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{27 ((x + 1) (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.13.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2)) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{27 (x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.13.3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.3.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.13.3.1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} + 0 - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.2.3

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2} - 2) + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{27 (2 x^{2}) + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} + 27 \cdot - 2 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.5

Mutltipliziere $27$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x \cdot x) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.13.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 (x \cdot x)) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 + 27 (- 4 x^{2}) + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (- 4 x \cdot - 2)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 27 (8 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.1.9

Mutltipliziere $8$ mit $27$ .

$f'' (x) = - \frac{54 x^{2} - 54 - 108 x^{2} + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.3.2

Subtrahiere $108 x^{2}$ von $54 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.4.1

Faktorisiere $54$ aus $- 54 x^{2} - 54 + 216 x$ heraus.

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Schritt 3.13.4.1.1

Faktorisiere $54$ aus $- 54 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) - 54 + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.4.1.2

Faktorisiere $54$ aus $- 54$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 216 x}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.4.1.3

Faktorisiere $54$ aus $216 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2}) + 54 (- 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.4.1.4

Faktorisiere $54$ aus $54 (- x^{2}) + 54 (- 1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.4.1.5

Faktorisiere $54$ aus $54 (- x^{2} - 1) + 54 (4 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} - 1 + 4 x)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.4.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{54 (- x^{2} + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) + 4 x - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.6

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2}) - (- 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (- 4 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{54 (- (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.10

Schreibe $- (x^{2} - 4 x + 1)$ als $- 1 (x^{2} - 4 x + 1)$ um.

$f'' (x) = - \frac{54 (- 1 (x^{2} - 4 x + 1))}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 3.13.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}})$

Schritt 3.13.13

Mutltipliziere $\frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{54 (x^{2} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{5}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Da $27$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ nach $x$ gleich $27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}]$

Schritt 5.1.2

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{({(x + 1)}^{3})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 5.1.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$27 \frac{{(x + 1)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x + 1)}^{3}$ .

$27 \frac{2 \cdot {(x + 1)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 5.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - x^{2} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5

Differenziere.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} (1 + 0))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.5.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x + 1)}^{2} \cdot 1)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5.5.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$27 \frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.5.5.3

Kombiniere $27$ und $\frac{2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{6}}$ .

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x - 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{27 (2 {(x + 1)}^{3} x) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.2.1

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ heraus.

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Schritt 5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 \cdot 2 {(x + 1)}^{3} x$ heraus.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.2.1.2

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 (- 3 x^{2} {(x + 1)}^{2})$ heraus.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.2.1.3

Faktorisiere $27 {(x + 1)}^{2} x$ aus $27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1)) + 27 {(x + 1)}^{2} x (- 3 x)$ heraus.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 (x + 1) - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 \cdot 1 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (2 x + 2 - 3 x)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.2.4

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + 1)}^{2}$ und ${(x + 1)}^{6}$ .

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Schritt 5.1.6.3.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $27 {(x + 1)}^{2} x (- x + 2)$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{6}}$

Schritt 5.1.6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.6.3.2.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{6}$ heraus.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + 1)}^{2} (27 x (- x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{27 x (- x + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{27 x (- (x) + 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.5

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{27 x (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{27 x (- (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.7

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{27 x (- 1 (x - 2))}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.1.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$27 x (x - 2) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $27 x (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{(27 x) (x - 2)}{{(x + 1)}^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 1)}^{4} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{54 ({(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1)}{{((0) + 1)}^{5}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{54 (0 - 4 \cdot 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$\frac{54 (0 + 0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{54 (0 + 1)}{{(0 + 1)}^{5}}$

Schritt 10.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{5}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{54 \cdot 1}{1^{5}}$

Schritt 10.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{54 \cdot 1}{1}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $54$ mit $1$ .

$\frac{54}{1}$

Schritt 10.3.2

Dividiere $54$ durch $1$ .

$54$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{27 {(0)}^{2}}{{((0) + 1)}^{3}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{3}}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1^{3}}$

Schritt 12.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (0) = \frac{27 \cdot 0}{1}$

Schritt 12.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $27$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

Schritt 12.2.3.2

Dividiere $0$ durch $1$ .

$f (0) = 0$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{54 ({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 1)}{{((2) + 1)}^{5}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{54 (4 - 4 \cdot 2 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{54 (4 - 8 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Schritt 14.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{54 (- 4 + 1)}{{(2 + 1)}^{5}}$

Schritt 14.1.4

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{5}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{3^{5}}$

Schritt 14.2.2

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{54 \cdot - 3}{243}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $54$ mit $- 3$ .

$\frac{- 162}{243}$

Schritt 14.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 162$ und $243$ .

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Schritt 14.3.2.1

Faktorisiere $81$ aus $- 162$ heraus.

$\frac{81 (- 2)}{243}$

Schritt 14.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.2.2.1

Faktorisiere $81$ aus $243$ heraus.

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Schritt 14.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81 \cdot - 2}{81 \cdot 3}$

Schritt 14.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{3}$

Schritt 14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3}$

Schritt 15

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{27 {(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{{(2 + 1)}^{3}}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{3^{3}}$

Schritt 16.2.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{27 \cdot 4}{27}$

Schritt 16.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.2.3.1

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{108}{27}$

Schritt 16.2.3.2

Dividiere $108$ durch $27$ .

$f (2) = 4$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{27 x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(2, 4)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18