Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- \frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{8}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{8}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{8}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$x^{4} + \frac{- 24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.6

Kombiniere $\frac{- 24}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.3.7.2.4

Dividiere $- 8 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} [- 120]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ und $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (16)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $4 x^{3} - 16 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{5} x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Da $- \frac{8}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = x^{4} - \frac{8}{3} \cdot \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = x^{4} - \frac{8}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = x^{4} - 3 (\frac{8}{3}) \cdot x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{8}{3}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 3 \cdot 8}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 24}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.6

Kombiniere $\frac{- 24}{3}$ und $x^{2}$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 24 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = x^{4} + \frac{3 (- 8 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 8 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.3.7.2.4

Dividiere $- 8 x^{2}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 120)$

Schritt 5.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1

Da $- 120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 120$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16 + 0$

Schritt 5.1.5.2

Addiere $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ und $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = 0$

Schritt 6.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 6.3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Schritt 6.3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Schritt 6.3.3

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Schritt 6.3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.4

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 6.5

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 6.6

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 6.7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 6.7.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 6.7.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 6.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 6.7.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 6.7.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2, - 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(2)}^{3} - 16 \cdot 2$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 \cdot 8 - 16 \cdot 2$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$32 - 16 \cdot 2$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$32 - 32$

Schritt 10.2

Subtrahiere $32$ von $32$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = {(- 4)}^{4} - 8 {(- 4)}^{2} + 16$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (- 4) = 256 - 8 {(- 4)}^{2} + 16$

Schritt 11.2.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = 256 - 8 \cdot 16 + 16$

Schritt 11.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $16$ .

$f' (- 4) = 256 - 128 + 16$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.2.1

Subtrahiere $128$ von $256$ .

$f' (- 4) = 128 + 16$

Schritt 11.2.2.2.2

Addiere $128$ und $16$ .

$f' (- 4) = 144$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- 2, 2)$ in die erste Ableitung $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 8 {(0)}^{2} + 16$

Schritt 11.3.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 16$

Schritt 11.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 16$

Schritt 11.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 16$

Schritt 11.3.2.2.2

Addiere $0$ und $16$ .

$f' (0) = 16$

Schritt 11.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $x^{4} - 8 x^{2} + 16$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = {(4)}^{4} - 8 {(4)}^{2} + 16$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.1.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = 256 - 8 {(4)}^{2} + 16$

Schritt 11.4.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 256 - 8 \cdot 16 + 16$

Schritt 11.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $16$ .

$f' (4) = 256 - 128 + 16$

Schritt 11.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.4.2.2.1

Subtrahiere $128$ von $256$ .

$f' (4) = 128 + 16$

Schritt 11.4.2.2.2

Addiere $128$ und $16$ .

$f' (4) = 144$

Schritt 11.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $144$ .

$144$

Schritt 11.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = - 2$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 11.6

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{8}{3} x^{3} + 16 x - 120$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 12