Analysis Beispiele

$y = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $y = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 2 x - 8$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 8$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.6.3

Bringe ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 2.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + 0)$

Schritt 2.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Schritt 2.12.2

Kombiniere $\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ und $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.12.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ als ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Schritt 3.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Schritt 3.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 3.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ und $g (x) = 2 x - 8$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.7.2

Kombiniere ${(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ und $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{{(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.7.3

Bringe ${(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{1}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{3 (3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 3.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 3.12

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 + 0)$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.13.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.13.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 3.13.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 2 x - 8$ .

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Schritt 5.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 8$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.6.3

Bringe ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

Schritt 5.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 5.1.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 5.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 5.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 8))$

Schritt 5.1.11

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 + 0)$

Schritt 5.1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.12.1

Addiere $2$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

Schritt 5.1.12.2

Kombiniere $\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.12.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 6.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(2 x - 8)}^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{2 x - 8} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{2 x - 8})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 x - 8}$ als ${(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(2 x - 8)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (2 x - 8) = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 (2 x) + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 7.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$54 x + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 8$ .

$54 x - 216 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$54 x - 216 = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Addiere $216$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$54 x = 216$

Schritt 7.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $54 x = 216$ durch $54$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $54 x = 216$ durch $54$ .

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Schritt 7.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $54$ .

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Schritt 7.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

Schritt 7.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{216}{54}$

Schritt 7.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.3.1

Dividiere $216$ durch $54$ .

$x = 4$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{8}{9 {(2 (4) - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{8}{9 {(8 - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{8}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{4}}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{8}{9 \cdot 0}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $0$ .

$- \frac{8}{0}$

Schritt 10.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{8}{0}$

Schritt 10.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 4)$ in die erste Ableitung $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(2 (0) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(0 - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2.2.1.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2.2.1.3

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$f' (0) = \frac{4}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.2.2.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 11.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 11.2.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{4}{3 (- 2)}$

Schritt 11.2.2.1.6

Berechne den Exponenten.

$f' (0) = \frac{4}{3 \cdot - 2}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f' (0) = \frac{4}{- 6}$

Schritt 11.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 6$ .

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f' (0) = \frac{2 (2)}{- 6}$

Schritt 11.2.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f' (0) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 11.2.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Schritt 11.2.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Schritt 11.2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = \frac{4}{3 {(2 (6) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (6) = \frac{4}{3 {(12 - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.2.1.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$f' (6) = \frac{4}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11.3.2.2

Bringe $4^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 11.3.2.3

Multipliziere $4$ mit $4^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.3.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $4^{- \frac{1}{3}}$ .

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Schritt 11.3.2.3.1.1

Potenziere $4$ mit $1$ .

$f' (6) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 11.3.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (6) = \frac{4^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 11.3.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (6) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 11.3.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (6) = \frac{4^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Schritt 11.3.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f' (6) = \frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 11.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 11.4

Da die erste Ableitung um $x = 4$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 4$ ein lokales Minimum.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12