Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} x$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(1 + x^{2})}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $1 + x^{2}$ aus ${(1 + x^{2})}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.16

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.19

Vereinfache.

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Schritt 3.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.19.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.19.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.19.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.19.3

Faktorisiere $2$ aus $2 - 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.19.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.19.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 3.19.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $\frac{1}{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 5.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 5.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Schritt 5.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 5.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 5.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

Schritt 5.1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

Schritt 10.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2 \cdot 1}{1}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2}{1}$

Schritt 10.3.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{1}{1 + {(0)}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{1}{1 + 0}$

Schritt 12.2.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 12.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(0, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14