Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Schritt 2.11.4

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.11.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - x (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (2))}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.12

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.13.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 2 \frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.13.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 (3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.13.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.13.5

Kombiniere $\frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.14

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.17

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 6 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.18

Faktorisiere $2$ aus $- 6 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.19.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.19.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.19.4

Dividiere $- 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ durch $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.20

Faktorisiere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.20.1

Bewege ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.20.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.20.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 3 x^{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.20.4

Faktorisiere ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.21.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}} - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.21.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} + 2) - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.22

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 2 - 3 x^{2})}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.23

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 2)}^{3}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.24

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25

Multipliziere ${(x^{2} + 2)}^{3}$ mit ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.25.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.25.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{6 - 1}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25.5.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.26

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 0$

Schritt 3.27

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.27.1

Mutltipliziere $\frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}} + 0$

Schritt 3.27.2

Addiere $- \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 5.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 5.1.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 5.1.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.7.2

Kombiniere ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 5.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 5.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 5.1.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 5.1.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

Schritt 5.1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Schritt 5.1.11.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} x$

Schritt 5.1.11.4

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.11.5

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 5.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$- \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $0$ und $2$ .

$- \frac{2}{{(0^{2} + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2}{{(0 + 2)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$- \frac{2}{2^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.3

Bringe $2^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2}} \cdot 2^{- 1}}$

Schritt 10.4

Multipliziere $2^{\frac{5}{2}}$ mit $2^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1}}$

Schritt 10.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 10.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 10.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 10.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{5 - 2}{2}}}$

Schritt 10.4.5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{{(0)}^{2} + 2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{0 + 2}}$

Schritt 12.2.1.2

Addiere $0$ und $2$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 12.2.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 12.2.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 12.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 12.2.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 12.2.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.2.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.2.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.2.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (0) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14