Analysis Beispiele

$y = | x^{2} - 4 |$

Schritt 1

Schreibe $y = | x^{2} - 4 |$ als Funktion.

$f (x) = | x^{2} - 4 |$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 2.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x + 0)$

Schritt 2.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} (2 x)$

Schritt 2.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} x$

Schritt 2.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 4 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{3} - 8 x$ und $g (x) = | x^{2} - 4 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | \frac{d}{d x} (2 x^{3} - 8 x) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 8 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8 \cdot 1) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (2 x + 0))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (2 x))}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) (\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} \cdot x)}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) - (2 x^{3} - 8 x) \frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2} - 8) + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 4 | (6 x^{2}) + | x^{2} - 4 | \cdot - 8 + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} + | x^{2} - 4 | \cdot - 8 + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.3

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $| x^{2} - 4 |$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 \cdot | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.1.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.5.4.1.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.3

Schreibe $2 x^{3} - 8 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.5.4.1.4.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 3.5.4.1.4.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x^{2}) - 8 x}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.3.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 4)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.3.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 2^{2})}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.4.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.4.1.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x^{2} - 2^{2} |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.3

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.1.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x (x - 2) + 2 (x - 2) |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.5.4.1.5.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.4.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.4.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x \cdot x + 2 \cdot - 2 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1.5.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x^{2} + 2 \cdot - 2 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x^{2} - 4 |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.6

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| x^{2} - 2^{2} |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.5.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- (2 x^{3}) - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- 2 x^{3} - (- 8 x)) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.6.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + (- 2 x^{3} + 8 x) (\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |})}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.7

Mutltipliziere $- 2 x^{3} + 8 x$ mit $\frac{2 x (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{(- 2 x^{3} + 8 x) (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1.8.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3} + 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1.8.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 8 x) \cdot (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $8 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 2 x (4)) \cdot (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{2}) + 2 x (4)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{2 x (- x^{2} + 4) \cdot (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{2 x (- x^{2} + 2^{2}) \cdot (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.3

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{2 x (2^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{2 x (2 + x) (2 - x) \cdot (2 x (x + 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.5.4.1.8.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x (2 + x) (2 - x) x (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 (x \cdot x) (2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{1 + 1} (2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} (2 + x) (2 - x) (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} (x + 2) (2 - x) (x + 2) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.7

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} ((x + 2) (x + 2)) (2 - x) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.8

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} ((x + 2) (x + 2)) (2 - x) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{1 + 1} (2 - x) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.10

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} (2 - x) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.11

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} (- 1 \cdot - 2 - x) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} (- 1 \cdot - 2 - (x)) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} (- 1 (- 2 + x)) (x - 2)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.14

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} \cdot (- 1 (x - 2) (x - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.15

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.16

Potenziere $x - 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 2) (x - 2)))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 2)}^{1 + 1})}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.8.5.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | + \frac{- 4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} - 8 | x^{2} - 4 | - \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.2

Um $6 | x^{2} - 4 | x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} | (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |} - \frac{4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 4 | x^{2} | (x + 2) (x - 2) | - 4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $6 | x^{2} - 4 | x^{2} | (x + 2) (x - 2) | - 4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $6 | x^{2} - 4 | x^{2} | (x + 2) (x - 2) |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |) - 4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.1.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 4 x^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.1.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (3 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.1

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x (x - 2) + 2 (x - 2)) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.5.4.4.1.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 2 \cdot - 2) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} + 2 \cdot - 2) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.4

Multipliziere $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4) | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.5.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.5.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.5.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.6

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 ((x + 2) (x + 2)) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.7

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.4.1.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.8.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.8.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x^{2} + 4 x + 4) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 2 (4 x) - 2 \cdot 4) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 2 \cdot 4) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) {(x - 2)}^{2})}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.11

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) ((x - 2) (x - 2)))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.12

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x (x - 2) - 2 (x - 2)))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.13.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.13.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.13.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.13.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + (- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x^{2} - 4 x + 4))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.14

Multipliziere $(- 2 x^{2} - 8 x - 8) (x^{2} - 4 x + 4)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 4 x) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} (- 4 x) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} (- 4 x) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 2 x^{2} (- 4 x) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 4 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 4 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 4 - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x \cdot x^{2} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 (x^{2} x) - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{2 + 1} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.9

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.10

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 32 x - 8 x^{2} - 8 (- 4 x) - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 32 x - 8 x^{2} + 32 x - 8 \cdot 4)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.15.12

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 32 x - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.16

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 8 x^{3} + 32 x^{2} - 32 x - 8 x^{2} + 32 x - 32$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.4.1.3.16.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 8 x^{2} + 0 + 32 x^{2} - 32 x - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.16.2

Addiere $- 2 x^{4} - 8 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 8 x^{2} + 32 x^{2} - 32 x - 8 x^{2} + 32 x - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.16.3

Addiere $- 32 x$ und $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 8 x^{2} + 32 x^{2} - 8 x^{2} + 0 - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.16.4

Addiere $- 2 x^{4} - 8 x^{2} + 32 x^{2} - 8 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} - 8 x^{2} + 32 x^{2} - 8 x^{2} - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.17

Addiere $- 8 x^{2}$ und $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 24 x^{2} - 8 x^{2} - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.3.18

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 2 x^{4} + 16 x^{2} - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 2 x^{4} + 16 x^{2} + 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 32)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5

Schreibe $- 2 x^{4} + 16 x^{2} + 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 32$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.5.4.4.1.5.1

Gruppiere die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 32 - 2 x^{4} + 16 x^{2} + 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{4} + 16 x^{2} + 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |$ heraus.

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Schritt 3.5.4.4.1.5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 32 - (2 x^{4}) + 16 x^{2} + 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 32 - (2 x^{4}) - (- 16 x^{2}) + 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 32 - (2 x^{4}) - (- 16 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4}) - (- 16 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 32 - (2 x^{4} - 16 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4} - 16 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 32 - (2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 32 - (2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ heraus.

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Schritt 3.5.4.4.1.5.3.1

Schreibe $- 32$ als $- 1 (32)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 \cdot 32 - (2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (32) - (2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 (32 + 2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.3.3

Schreibe $- 1 (32 + 2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ als $- (32 + 2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (32 + 2 x^{4} - 16 x^{2} - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.5.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} \cdot (- 1 (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.5.4.4.1.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 (x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 |}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.5

Um $- 8 | x^{2} - 4 |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} - 8 | x^{2} - 4 | \cdot \frac{| (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.6

Kombiniere $- 8 | x^{2} - 4 |$ und $\frac{| (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} + \frac{- 8 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 8 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 8 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |$ heraus.

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Schritt 3.5.4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)) - 8 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 8 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)) + 2 (- 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)) + 2 (- 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 16 x^{2} + 32 - 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4}) - x^{2} (- 16 x^{2}) - x^{2} \cdot 32 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.3

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.8.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - x^{2} (- 16 x^{2}) - x^{2} \cdot 32 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 32 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.3.3

Mutltipliziere $32$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 32 x^{2} - x^{2} (- 3 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.8.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.8.4.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 (x^{4} x^{2})) - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{4 + 2}) - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.1.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{6}) - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.8.4.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 16 x^{4}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | (x + 2) (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.5

Multipliziere $(x + 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x (x - 2) + 2 (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.5.4.8.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 2$ und $2 x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.6.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.6.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x \cdot x + 2 \cdot - 2 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.8.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x^{2} + 2 \cdot - 2 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} - 4 | | x^{2} - 4 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.8

Multipliziere $- 4 | x^{2} - 4 | | x^{2} - 4 |$ .

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Schritt 3.5.4.8.8.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.8.2

Potenziere $x^{2} - 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.8.3

Potenziere $x^{2} - 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | {(x^{2} - 4)}^{1 + 1} |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | {(x^{2} - 4)}^{2} |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.9

Schreibe ${(x^{2} - 4)}^{2}$ als $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | (x^{2} - 4) (x^{2} - 4) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.10

Multipliziere $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.4.8.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4) |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.4.8.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.8.11.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.4.8.11.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.11.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.11.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.11.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.8.11.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) + 16 x^{4} - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $16 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) - (- 16 x^{4}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6}) - (- 16 x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4}) - 32 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 32 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4}) - (32 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6} - 16 x^{4}) - (32 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.14

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - (4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.17

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |) - (4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.18

Schreibe $- (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ als $- 1 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |))}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.5.1

Schreibe $\frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |} \cdot \frac{1}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$

Schritt 3.5.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{| x^{2} - 4 |}^{2}}$ mit $\frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{| (x + 2) (x - 2) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 16 x^{4} + 32 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 8 x^{2} + 16 | + 4 | x^{4} - 8 x^{2} + 16 |)}{{| x^{2} - 4 |}^{2} | (x + 2) (x - 2) |}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Schritt 5.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 5.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 5.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 5.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (2 x + 0)$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |} \cdot (2 x)$

Schritt 5.1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 4}{| x^{2} - 4 |}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |} \cdot x$

Schritt 5.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 4)}{| x^{2} - 4 |}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{3} - 8 x = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 6.3.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Schritt 6.3.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 4) = 0$

Schritt 6.3.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 4)$ heraus.

$2 x (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 6.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 6.3.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.3.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$2 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 6.3.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 6.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.3.5

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 6.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x^{2} - 4 | = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 4 = \pm 0$

Schritt 7.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Schritt 7.2.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 7.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 7.2.5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 7.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 7.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 7.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 7.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 16 {(0)}^{4} + 32 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16 | + 4 | {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 16 |)}{{| {(0)}^{2} - 4 |}^{2} | ((0) + 2) ((0) - 2) |}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{4} + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 - 16 \cdot 0^{4} + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 - 16 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 32 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 32 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.6

Mutltipliziere $32$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.9.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 8 \cdot 0 + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.9.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 0 + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.10

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.11

Addiere $0$ und $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 16 | + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.12

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 16 + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.13

Mutltipliziere $0$ mit $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 0^{4} - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.14

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.14.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 0 - 8 \cdot 0^{2} + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.14.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 0 - 8 \cdot 0 + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.14.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 0 + 0 + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.15

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 0 + 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.16

Addiere $0$ und $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 | 16 |)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.17

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $16$ ist $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 4 \cdot 16)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.18

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 64)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.19

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 64)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.20

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 64)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.21

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 64)}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.1.22

Addiere $0$ und $64$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{{| 0^{2} - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{{| 0 - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{{| - 4 |}^{2} | (0 + 2) (0 - 2) |}$

Schritt 10.2.3

Addiere $0$ und $2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{{| - 4 |}^{2} | 2 (0 - 2) |}$

Schritt 10.2.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{{| - 4 |}^{2} | 2 \cdot - 2 |}$

Schritt 10.2.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 4$ und $0$ ist $4$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{4^{2} | 2 \cdot - 2 |}$

Schritt 10.2.6

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{16 | 2 \cdot - 2 |}$

Schritt 10.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{16 | - 4 |}$

Schritt 10.2.8

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 4$ und $0$ ist $4$ .

$- \frac{2 \cdot 64}{16 \cdot 4}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$- \frac{128}{16 \cdot 4}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$- \frac{128}{64}$

Schritt 10.3.3

Dividiere $128$ durch $64$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = | {(0)}^{2} - 4 |$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = | 0 - 4 |$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f (0) = | - 4 |$

Schritt 12.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 4$ und $0$ ist $4$ .

$f (0) = 4$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{{| {(- 2)}^{2} - 4 |}^{2} | ((- 2) + 2) ((- 2) - 2) |}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{{| 4 - 4 |}^{2} | ((- 2) + 2) ((- 2) - 2) |}$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{{| 0 |}^{2} | ((- 2) + 2) ((- 2) - 2) |}$

Schritt 14.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0^{2} | ((- 2) + 2) ((- 2) - 2) |}$

Schritt 14.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0 | ((- 2) + 2) ((- 2) - 2) |}$

Schritt 14.5

Addiere $- 2$ und $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0 | 0 ((- 2) - 2) |}$

Schritt 14.6

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0 | 0 \cdot - 4 |}$

Schritt 14.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0 | 0 |}$

Schritt 14.8

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0 \cdot 0}$

Schritt 14.9

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 2)}^{6} - 16 {(- 2)}^{4} + 32 {(- 2)}^{2} - 3 {(- 2)}^{2} | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 | + 4 | {(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 16 |)}{0}$

Schritt 14.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 2)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{3} - 8 \cdot - 4}{| {(- 4)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f' (- 4) = \frac{2 \cdot - 64 - 8 \cdot - 4}{| {(- 4)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$f' (- 4) = \frac{- 128 - 8 \cdot - 4}{| {(- 4)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{- 128 + 32}{| {(- 4)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.2.2.1.4

Addiere $- 128$ und $32$ .

$f' (- 4) = \frac{- 96}{| {(- 4)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 4) = \frac{- 96}{| 16 - 4 |}$

Schritt 15.2.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$f' (- 4) = \frac{- 96}{| 12 |}$

Schritt 15.2.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $12$ ist $12$ .

$f' (- 4) = \frac{- 96}{12}$

Schritt 15.2.2.3

Dividiere $- 96$ durch $12$ .

$f' (- 4) = - 8$

Schritt 15.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 8$ .

$- 8$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 1$ , aus dem Intervall $(- 2, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1}{| {(- 1)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1}{| {(- 1)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 8 \cdot - 1}{| {(- 1)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 + 8}{| {(- 1)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.3.2.1.4

Addiere $- 2$ und $8$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{| {(- 1)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.3.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{| 1 - 4 |}$

Schritt 15.3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{| - 3 |}$

Schritt 15.3.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{3}$

Schritt 15.3.2.3

Dividiere $6$ durch $3$ .

$f' (- 1) = 2$

Schritt 15.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$2$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, 2)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{2 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1}{| {(1)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{2 \cdot 1 - 8 \cdot 1}{| 1^{2} - 4 |}$

Schritt 15.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{2 - 8 \cdot 1}{| 1^{2} - 4 |}$

Schritt 15.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$f' (1) = \frac{2 - 8}{| 1^{2} - 4 |}$

Schritt 15.4.2.1.4

Subtrahiere $8$ von $2$ .

$f' (1) = \frac{- 6}{| 1^{2} - 4 |}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{- 6}{| 1 - 4 |}$

Schritt 15.4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{- 6}{| - 3 |}$

Schritt 15.4.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 3$ und $0$ ist $3$ .

$f' (1) = \frac{- 6}{3}$

Schritt 15.4.2.3

Dividiere $- 6$ durch $3$ .

$f' (1) = - 2$

Schritt 15.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$- 2$

Schritt 15.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(2, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 8 x}{| x^{2} - 4 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{2 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4}{| {(4)}^{2} - 4 |}$

Schritt 15.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f' (4) = \frac{2 \cdot 64 - 8 \cdot 4}{| 4^{2} - 4 |}$

Schritt 15.5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$f' (4) = \frac{128 - 8 \cdot 4}{| 4^{2} - 4 |}$

Schritt 15.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{128 - 32}{| 4^{2} - 4 |}$

Schritt 15.5.2.1.4

Subtrahiere $32$ von $128$ .

$f' (4) = \frac{96}{| 4^{2} - 4 |}$

Schritt 15.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.5.2.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = \frac{96}{| 16 - 4 |}$

Schritt 15.5.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$f' (4) = \frac{96}{| 12 |}$

Schritt 15.5.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $12$ ist $12$ .

$f' (4) = \frac{96}{12}$

Schritt 15.5.2.3

Dividiere $96$ durch $12$ .

$f' (4) = 8$

Schritt 15.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $8$ .

$8$

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = - 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 2$ ein lokales Minimum.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.8

Da die erste Ableitung um $x = 2$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 2$ ein lokales Minimum.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = | x^{2} - 4 |$ .

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16