Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x^{4} - 81}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{4} - 81$ .

$\frac{(x^{4} - 81) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(x^{4} - 81) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} - 81$ .

$\frac{4 \cdot (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x^{4} - 81]}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 81])}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.3.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{4 x^{7} + 4 \cdot - 81 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 81$ .

$\frac{4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Subtrahiere $4 x^{7}$ von $4 x^{7}$ .

$\frac{- 324 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.2.2

Addiere $- 324 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{- 324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 324$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 324 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 3.2

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{({(x^{4} - 81)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{4} - 81)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{{(x^{4} - 81)}^{2} (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(x^{4} - 81)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 \cdot ({(x^{4} - 81)}^{2} x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} {(x^{4} - 81)}^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{4} - 81$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - x^{3} (2 (x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 81)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 81)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5.4

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.5.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} ((x^{4} - 81) (4 x^{3}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5.5.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} - 81$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 2 x^{3} (4 \cdot ((x^{4} - 81) x^{3}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.5.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{3} ((x^{4} - 81) x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{3 + 3} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.7

Addiere $3$ und $3$ .

$f'' (x) = - 324 \frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 324$ und $\frac{3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{(324) (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2} - 8 x^{6} x^{4} - 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 {(x^{4} - 81)}^{2} x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.1

Schreibe ${(x^{4} - 81)}^{2}$ als $(x^{4} - 81) (x^{4} - 81)$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 ((x^{4} - 81) (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.2

Multipliziere $(x^{4} - 81) (x^{4} - 81)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.10.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} (x^{4} - 81) - 81 (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 (x^{4} - 81)) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.10.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.3.1.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.3.1.1.2

Addiere $4$ und $4$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} + x^{4} \cdot - 81 - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.3.1.2

Bringe $- 81$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 81 \cdot x^{4} - 81 x^{4} - 81 \cdot - 81) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 81$ mit $- 81$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 81 x^{4} - 81 x^{4} + 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.3.2

Subtrahiere $81 x^{4}$ von $- 81 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{8} - 162 x^{4} + 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} + 3 (- 162 x^{4}) + 3 \cdot 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.10.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 162$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} - 486 x^{4} + 3 \cdot 6561) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $6561$ .

$f'' (x) = - \frac{324 ((3 x^{8} - 486 x^{4} + 19683) x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{8} x^{2} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7

Vereinfache.

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Schritt 3.10.3.1.7.1

Multipliziere $x^{8}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.3.1.7.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 (x^{2} x^{8}) - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{2 + 8} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7.1.3

Addiere $2$ und $8$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{4} x^{2} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7.2

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.3.1.7.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 (x^{2} x^{4}) + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{2 + 4} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.7.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10} - 486 x^{6} + 19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 (3 x^{10}) + 324 (- 486 x^{6}) + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9

Vereinfache.

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Schritt 3.10.3.1.9.1

Mutltipliziere $3$ mit $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} + 324 (- 486 x^{6}) + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9.2

Mutltipliziere $- 486$ mit $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 324 (19683 x^{2}) + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.9.3

Mutltipliziere $19683$ mit $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{6} x^{4}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.10

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.3.1.10.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 (x^{4} x^{6})) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{4 + 6}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.10.3

Addiere $4$ und $6$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 324 (- 8 x^{10}) + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.11

Mutltipliziere $- 8$ mit $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 324 (- 8 x^{6} \cdot - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.12

Mutltipliziere $- 81$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 324 (648 x^{6})}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.1.13

Mutltipliziere $648$ mit $324$ .

$f'' (x) = - \frac{972 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} - 2592 x^{10} + 209952 x^{6}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.2

Subtrahiere $2592 x^{10}$ von $972 x^{10}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1620 x^{10} - 157464 x^{6} + 6377292 x^{2} + 209952 x^{6}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.3.3

Addiere $- 157464 x^{6}$ und $209952 x^{6}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1620 x^{10} + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.4.1

Faktorisiere $324 x^{2}$ aus $- 1620 x^{10} + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.10.4.1.1

Faktorisiere $324 x^{2}$ aus $- 1620 x^{10}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 52488 x^{6} + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.1.2

Faktorisiere $324 x^{2}$ aus $52488 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4}) + 6377292 x^{2}}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.1.3

Faktorisiere $324 x^{2}$ aus $6377292 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.1.4

Faktorisiere $324 x^{2}$ aus $324 x^{2} (- 5 x^{8}) + 324 x^{2} (162 x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.1.5

Faktorisiere $324 x^{2}$ aus $324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4}) + 324 x^{2} (19683)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{8} + 162 x^{4} + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 {(x^{4})}^{2} + 162 x^{4} + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.3

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + 162 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.10.4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot 19683 = - 98415$ und deren Summe gleich $b = 162$ ist.

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Schritt 3.10.4.4.1.1

Faktorisiere $162$ aus $162 u$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + 162 (u) + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.4.1.2

Schreibe $162$ um als $- 243$ plus $405$

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} + (- 243 + 405) u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 u^{2} - 243 u + 405 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.10.4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 u^{2} - 243 u) + 405 u + 19683)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (u (- 5 u - 243) - 81 (- 5 u - 243))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 u - 243$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 u - 243) (u - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) (x^{4} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.6

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ({(x^{2})}^{2} - 81))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.7

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.8

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} ((- 5 x^{4} - 243) ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)))}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.4.9

Faktorisiere.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{4} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.10.5.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{({(x^{2})}^{2} - 81)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{({(x^{2})}^{2} - 9^{2})}^{4}}$

Schritt 3.10.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))}^{4}}$

Schritt 3.10.5.4

Vereinfache.

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Schritt 3.10.5.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))}^{4}}$

Schritt 3.10.5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))}^{4}}$

Schritt 3.10.5.5

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ an.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{2} + 9) (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.6

Multipliziere $(x^{2} + 9) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.10.5.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.10.5.7.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.10.5.7.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.10.5.7.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.7.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.7.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 3 + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.7.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + 3 \cdot x^{2} + 9 x + 9 \cdot 3)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.7.3

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 27)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.8

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.10.5.8.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x^{3} + 3 x^{2}) + 9 x + 27)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.8.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x^{2} (x + 3) + 9 (x + 3))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.9

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{((x + 3) (x^{2} + 9))}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.5.10

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x^{2} + 9)$ an.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2} + 9$ und ${(x^{2} + 9)}^{4}$ .

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Schritt 3.10.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus ${(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{4} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 9) ({(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 3.10.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 9) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3))}{(x^{2} + 9) ({(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 3.10.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3)}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 3$ und ${(x + 3)}^{4}$ .

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Schritt 3.10.7.1

Faktorisiere $x + 3$ aus $(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243) (x + 3)) (x - 3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{{(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.7.2.1

Faktorisiere $x + 3$ aus ${(x + 3)}^{4} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 3.10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x + 3) ((324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3))}{(x + 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4})}$

Schritt 3.10.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und ${(x - 3)}^{4}$ .

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Schritt 3.10.8.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)) (x - 3)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}}$

Schritt 3.10.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.10.8.2.1

Faktorisiere $x - 3$ aus ${(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Schritt 3.10.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 3) (324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243))}{(x - 3) ({(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3})}$

Schritt 3.10.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 5 x^{4} - 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4}) - 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.10

Schreibe $- 243$ als $- 1 (243)$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4}) - 1 \cdot 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x^{4}) - 1 (243)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- (5 x^{4} + 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.12

Schreibe $- (5 x^{4} + 243)$ als $- 1 (5 x^{4} + 243)$ um.

$f'' (x) = - \frac{324 x^{2} (- 1 (5 x^{4} + 243))}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}})$

Schritt 3.10.15

Mutltipliziere $\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 3.10.16

Stelle die Faktoren in $\frac{(324 x^{2}) (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$ um.

$f'' (x) = \frac{324 x^{2} (5 x^{4} + 243)}{{(x + 3)}^{3} {(x^{2} + 9)}^{3} {(x - 3)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{4} - 81) \frac{d}{d x} (x^{4}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{4} - 81) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x^{4} - 81$ .

$f' (x) = \frac{4 \cdot ((x^{4} - 81) x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 81)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 81))}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 81))}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.6.1

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - x^{4} (4 x^{3})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{4} x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.3.1

Bewege $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 (x^{3} x^{4})}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{3 + 4}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(4 x^{4} + 4 \cdot - 81) x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{4 x^{4} x^{3} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.3.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.3.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{4 x^{3 + 4} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.1.1.3

Addiere $3$ und $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{7} + 4 \cdot (- 81 x^{3}) - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 81$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{7} - 324 x^{3} - 4 x^{7}$ .

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Schritt 5.1.4.3.2.1

Subtrahiere $4 x^{7}$ von $4 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{- 324 x^{3} + 0}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.2.2

Addiere $- 324 x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ .

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$324 x^{3} = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $324 x^{3} = 0$ durch $324$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $324 x^{3} = 0$ durch $324$ .

$\frac{324 x^{3}}{324} = \frac{0}{324}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $324$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{324 x^{3}}{324} = \frac{0}{324}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{324}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $324$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 6.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 6.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 6.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{4} - 81)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 81)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

${({(x^{2})}^{2} - 9^{2})}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2}$ und $b = 9$ .

${((x^{2} + 9) (x^{2} - 9))}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}))}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.4.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.2.1.4.2.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

${((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)))}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.4.2.2

Entferne unnötige Klammern.

${((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.5

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ an.

${((x^{2} + 9) (x + 3))}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.1.6

Wende die Produktregel auf $(x^{2} + 9) (x + 3)$ an.

${(x^{2} + 9)}^{2} {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.3

Setze ${(x^{2} + 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.3.1

Setze ${(x^{2} + 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.3.2

Löse ${(x^{2} + 9)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.3.2.1

Setze $x^{2} + 9$ gleich $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Schritt 7.2.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.3.2.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 9$

Schritt 7.2.3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Schritt 7.2.3.2.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Schritt 7.2.3.2.2.3.1

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 7.2.3.2.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 7.2.3.2.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 7.2.3.2.2.3.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.2.3.2.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 3$

Schritt 7.2.3.2.2.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i$

Schritt 7.2.3.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.2.3.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i$

Schritt 7.2.3.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i$

Schritt 7.2.3.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i, - 3 i$

Schritt 7.2.4

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.4.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.4.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.4.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 7.2.4.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7.2.5

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.5.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.5.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.5.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.2.5.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 7.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 9)}^{2} {(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{324 {(0)}^{2} (5 {(0)}^{4} + 243)}{{((0) + 3)}^{3} {({(0)}^{2} + 9)}^{3} {((0) - 3)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} (5 \cdot 0 + 243)}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} (0 + 243)}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $0$ und $243$ .

$\frac{324 \cdot 0^{2} \cdot 243}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $243$ mit $324$ .

$\frac{78732 \cdot 0^{2}}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{{(0 + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 (0) + 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1 \cdot (0 - 3))}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.2.4

Wende die Produktregel auf $- 1 \cdot (0 - 3)$ an.

$\frac{78732 \cdot 0}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{3} {(0^{2} + 9)}^{3} {(0 - 3)}^{3}}$

Schritt 10.2.6

Multipliziere ${(0 - 3)}^{3}$ mit ${(0 - 3)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.6.1

Bewege ${(0 - 3)}^{3}$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{3} {(0 - 3)}^{3}) {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 10.2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{3 + 3} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 10.2.6.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{78732 \cdot 0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $78732$ mit $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} {(0^{2} + 9)}^{3}}$

Schritt 10.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} {(0 + 9)}^{3}}$

Schritt 10.4.3

Addiere $0$ und $9$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 3)}^{6} \cdot 9^{3}}$

Schritt 10.4.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.4.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{0}{- 1 \cdot {(- 1 (3))}^{6} \cdot 9^{3}}$

Schritt 10.4.4.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (3)$ an.

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 3^{6}) \cdot 9^{3}}$

Schritt 10.4.4.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (1 \cdot 3^{6}) \cdot 9^{3}}$

Schritt 10.4.4.4

Mutltipliziere $3^{6}$ mit $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{6} \cdot 9^{3}}$

Schritt 10.4.4.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{0}{- 1 \cdot ({(3^{2})}^{3} \cdot 3^{6})}$

Schritt 10.4.4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2})}^{3}$ .

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Schritt 10.4.4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{6})}$

Schritt 10.4.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (3^{6} \cdot 3^{6})}$

Schritt 10.4.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{6 + 6}}$

Schritt 10.4.4.8

Addiere $6$ und $6$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 3^{12}}$

Schritt 10.4.5

Potenziere $3$ mit $12$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 531441}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $531441$ .

$\frac{0}{- 531441}$

Schritt 10.5.2

Dividiere $0$ durch $- 531441$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 6$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 {(- 6)}^{3}}{{({(- 6)}^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $3$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{{({(- 6)}^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $4$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{{(1296 - 81)}^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.2

Subtrahiere $81$ von $1296$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{1215^{2}}$

Schritt 11.2.2.2.3

Potenziere $1215$ mit $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{324 \cdot - 216}{1476225}$

Schritt 11.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.3.1

Mutltipliziere $324$ mit $- 216$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 69984}{1476225}$

Schritt 11.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 69984$ und $1476225$ .

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Schritt 11.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2187$ aus $- 69984$ heraus.

$f' (- 6) = - \frac{2187 (- 32)}{1476225}$

Schritt 11.2.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2187$ aus $1476225$ heraus.

$f' (- 6) = - \frac{2187 \cdot - 32}{2187 \cdot 675}$

Schritt 11.2.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 6) = - \frac{2187 \cdot - 32}{2187 \cdot 675}$

Schritt 11.2.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 6) = - \frac{- 32}{675}$

Schritt 11.2.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- 6) = \frac{32}{675}$

Schritt 11.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{32}{675}$ .

$\frac{32}{675}$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{324 x^{3}}{{(x^{4} - 81)}^{2}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{324 {(2)}^{3}}{{({(2)}^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(2^{4} - 81)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.2.2.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(16 - 81)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2.2

Subtrahiere $81$ von $16$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{{(- 65)}^{2}}$

Schritt 11.3.2.2.3

Potenziere $- 65$ mit $2$ .

$f' (2) = - \frac{324 \cdot 8}{4225}$

Schritt 11.3.2.3

Mutltipliziere $324$ mit $8$ .

$f' (2) = - \frac{2592}{4225}$

Schritt 11.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2592}{4225}$ .

$- \frac{2592}{4225}$

Schritt 11.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12