Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{1 + x}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x}{1 + x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x}{1 + x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.7.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.7.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2.7.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ als ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 2}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Schritt 3.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7