Analysis Beispiele

$y = x^{3} \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x^{3} \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{3} \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Schritt 2.3.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x^{2} \ln (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 2 x + 3 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.2.6.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 (x + \ln (x) (2 x))$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 3 (\ln (x) (2 x))$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 x + 6 (\ln (x) (x))$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$f'' (x) = 5 x + 6 \ln (x) x$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 6 x \ln (x) + 5 x$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1.3.1

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.2.2.5

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})$

Schritt 5.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x)$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x^{2} \ln (x) = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ durch $3 x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} \ln (x) = - x^{2}$ durch $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2} \ln (x)}{3 x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \ln (x)}{x^{2}} = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 6.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{- x^{2}}{3 x^{2}}$

Schritt 6.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{- 1}{3}$

Schritt 6.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{1}{3}$

Schritt 6.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 6.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{1}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3}} = x$

Schritt 6.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{1}{3}}$ um.

$x = e^{- \frac{1}{3}}$

Schritt 6.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 7.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.2

Bringe $e^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \ln (e^{- \frac{1}{3}}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.3

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \ln (e)) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3} \cdot 1) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} (- \frac{1}{3}) + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$\frac{6}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2)}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{- 1}{3} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1 + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.7

Kombiniere $\frac{2}{e^{\frac{1}{3}}}$ und $- 1$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + 5 (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 10.1.10

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{3}}} + \frac{5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + 5}{e^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$\frac{3}{e^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 11

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})}^{3} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$ an.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1^{3}}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{3}})}^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 12.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{3} \cdot 3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2.2.2

Vereinfache.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 12.2.3

Bringe $e^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 12.2.4

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{3}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{3}$ aus dem Logarithmus.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot \ln (e))$

Schritt 12.2.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{3})$

Schritt 12.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{e \cdot 3}$

Schritt 12.2.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}) = - \frac{1}{3 e}$

Schritt 12.2.9

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{3 e}$ .

$y = - \frac{1}{3 e}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{3} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}, - \frac{1}{3 e})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14