Analysis Beispiele

$y = - 2 \sec (4 x)$

Schritt 1

Schreibe $y = - 2 \sec (4 x)$ als Funktion.

$f (x) = - 2 \sec (4 x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sec (4 x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sec (u)$ nach $u$ ist $\sec (u) \tan (u)$ .

$- 2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$- 2 (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \sec (4 x) \tan (4 x)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\sec (4 x) \tan (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} (\sec (4 x) \tan (4 x))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (4 x)$ und $g (x) = \tan (4 x)$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (\tan (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\tan (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.4

Potenziere $\sec (4 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{2} (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 8 ({\sec (4 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (\sec^{3} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.6.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sec^{3} (4 x)$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \cdot \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} (\sec (4 x)))$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.7.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.8

Potenziere $\tan (4 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \tan (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.9

Potenziere $\tan (4 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan (4 x) \tan (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 1} (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

Schritt 3.12

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (4 \cdot 1))$

Schritt 3.14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.14.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) \cdot 4)$

Schritt 3.14.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (4 x) \sec (4 x)$ .

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x) + 4 \cdot (\tan^{2} (4 x) \sec (4 x)))$

Schritt 3.15

Vereinfache.

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Schritt 3.15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 8 (4 \sec^{3} (4 x)) - 8 (4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x))$

Schritt 3.15.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.15.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - 32 \sec^{3} (4 x) - 8 (4 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x))$

Schritt 3.15.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = - 32 \sec^{3} (4 x) - 32 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x)$

Schritt 3.15.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 32 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) - 32 \sec^{3} (4 x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (4 x) = 0$

$\tan (4 x) = 0$

Schritt 6

Setze $\sec (4 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sec (4 x)$ gleich $0$ .

$\sec (4 x) = 0$

Schritt 6.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Setze $\tan (4 x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\tan (4 x)$ gleich $0$ .

$\tan (4 x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\tan (4 x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$4 x = \arctan (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 7.2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$4 x = π + 0$

Schritt 7.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.5.1

Addiere $π$ und $0$ .

$4 x = π$

Schritt 7.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6

Die Lösung der Gleichung $4 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 8 \sec (4 x) \tan (4 x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{π}{4}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 32 \tan^{2} (4 (0)) \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- 32 \tan^{2} (0) \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- 32 \cdot 0^{2} \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 32 \cdot 0 \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 32$ mit $0$ .

$0 \sec (4 (0)) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 \sec (0) - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 - 32 \sec^{3} (4 (0))$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 - 32 \sec^{3} (0)$

Schritt 10.1.9

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 - 32 \cdot 1^{3}$

Schritt 10.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 - 32 \cdot 1$

Schritt 10.1.11

Mutltipliziere $- 32$ mit $1$ .

$0 - 32$

Schritt 10.2

Subtrahiere $32$ von $0$ .

$- 32$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 2 \sec (4 (0))$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (0) = - 2 \sec (0)$

Schritt 12.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (0) = - 2$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 32 \tan^{2} (4 (\frac{π}{4})) \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 32 \tan^{2} (4 \frac{π}{4}) \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 32 \tan^{2} (π) \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 32 {(- \tan (0))}^{2} \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- 32 {(- 0)}^{2} \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- 32 \cdot 0^{2} \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 32 \cdot 0 \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.6

Mutltipliziere $- 32$ mit $0$ .

$0 \sec (4 (\frac{π}{4})) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 \sec (4 \frac{π}{4}) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$0 \sec (π) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 (- \sec (0)) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.9

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.10

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 \cdot - 1 - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 - 32 \sec^{3} (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 14.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 32 \sec^{3} (4 \frac{π}{4})$

Schritt 14.1.11.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 32 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.12

$0 - 32 {(- \sec (0))}^{3}$

Schritt 14.1.13

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 - 32 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 14.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 32 {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - 32 \cdot - 1$

Schritt 14.1.16

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 1$ .

$0 + 32$

Schritt 14.2

Addiere $0$ und $32$ .

$32$

Schritt 15

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sec (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sec (4 (\frac{π}{4}))$

Schritt 16.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \sec (π)$

Schritt 16.2.2

$f (\frac{π}{4}) = - 2 (- \sec (0))$

Schritt 16.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.2.4

Multipliziere $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 16.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 \cdot - 1$

Schritt 16.2.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2$

Schritt 16.2.5

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 2 \sec (4 x)$ .

$(0, - 2)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{π}{4}, 2)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18