Analysis Beispiele

$y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Schritt 1

Schreibe $y = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ als Funktion.

$f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Schritt 2.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \sin (\frac{π}{12} (x - 2))$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{12} (x - 2))]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{π}{12} (x - 2)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π}{12} (x - 2)$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{d}{d x} [\frac{π}{12} (x - 2)])$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{π}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π}{12} (x - 2)$ nach $x$ gleich $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x - 2]))$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])))$

Schritt 2.2.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} (1 + 0)))$

Schritt 2.2.7

Addiere $1$ und $0$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) (\frac{π}{12} \cdot 1))$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $1$ .

$0 + 5 (\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) \frac{π}{12})$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $\cos (\frac{π}{12} (x - 2))$ und $\frac{π}{12}$ .

$0 + 5 \frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $5$ und $\frac{\cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} (x - 2)) π}{12}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π}{12} \cdot - 2) π}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{π}{12}$ und $- 2$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{π \cdot - 2}{12}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $π$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- 2 \cdot π}{12}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $12$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{12}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 (6)}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 6}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x + \frac{- π}{6}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π}{12} x - \frac{π}{6}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.5

Kombiniere $\frac{π}{12}$ und $x$ .

$0 + \frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Schritt 2.3.2.6

Addiere $0$ und $\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$ .

$\frac{5 \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) π}{12}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{5 π}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{5 π}{12} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = \frac{5 π}{12} \cdot (- \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{5 π}{12}$ und $\sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{12}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{12}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 3.3.3

Da $\frac{π}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π x}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{π}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Schritt 3.3.6

Da $- \frac{π}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{6}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot (\frac{π}{12} + 0)$

Schritt 3.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $\frac{π}{12}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} \cdot \frac{π}{12}$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $\frac{5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12}$ .

$f'' (x) = - \frac{π (5 π \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}))}{12 \cdot 12}$

Schritt 3.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 3.5

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 (π π) \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{5 π^{1 + 1} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12 \cdot 12}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$f'' (x) = - \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{12} = 0$

Schritt 5

Setze den Zähler gleich Null.

$5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 6

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ durch $5 π$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$ durch $5 π$ .

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{5 π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 6.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{5 π}$

Schritt 6.1.2.2.2

Dividiere $\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6})$ durch $1$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{5 π}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 6.1.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 π}$

Schritt 6.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 π$ heraus.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 (0)}{5 (π)}$

Schritt 6.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{5 \cdot 0}{5 π}$

Schritt 6.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{π}$

Schritt 6.1.3.2

Dividiere $0$ durch $π$ .

$\cos (\frac{π x}{12} - \frac{π}{6}) = 0$

Schritt 6.2

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Schritt 6.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{12} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Schritt 6.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Schritt 6.4.5.2

Addiere $3 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{4 π}{6}$

Schritt 6.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $6$ .

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Schritt 6.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Schritt 6.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Schritt 6.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.5

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Schritt 6.6.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 6.6.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.6.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.6.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Schritt 6.6.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Schritt 6.6.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.6.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 6.6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Schritt 6.6.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \cdot 2$

Schritt 6.6.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = 8$

Schritt 6.7

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 6.8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.8.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.8.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.8.1.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 6.8.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 6.8.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 6.8.1.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.8.2.1

Addiere $\frac{π}{6}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.8.2.2

Um $\frac{3 π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.8.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Schritt 6.8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π x}{12} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Schritt 6.8.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{9 π + π}{6}$

Schritt 6.8.2.5.2

Addiere $9 π$ und $π$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{10 π}{6}$

Schritt 6.8.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10 π$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Schritt 6.8.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Schritt 6.8.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{12} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.8.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π x}{12} = \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.1.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.2.1

Vereinfache $\frac{12}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{3 (4)}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Schritt 6.8.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{4}{π} (5 π)$

Schritt 6.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $5 π$ heraus.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Schritt 6.8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 5)$

Schritt 6.8.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 4 \cdot 5$

Schritt 6.8.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = 20$

Schritt 6.9

Die Lösung der Gleichung $\frac{π x}{12} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = 8, 20$

Schritt 7

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (8)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $π (8)$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (2))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (2)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})}{144}$

Schritt 8.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 8.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})}{144}$

Schritt 8.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Schritt 8.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{144}$

Schritt 8.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{144}$

Schritt 8.2.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot 1}{144}$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- \frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 9

$x = 8$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 8$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 8$ .

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((8) - 2))$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $8$ .

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 6)$

Schritt 10.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 6)$

Schritt 10.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot 6)$

Schritt 10.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (8) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 10.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (8) = - 2 + 5 \cdot 1$

Schritt 10.2.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (8) = - 2 + 5$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 2$ und $5$ .

$f (8) = 3$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 20$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π (20)}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Faktorisiere $4$ aus $π (20)$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{12} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 (3)} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{4 (π \cdot (5))}{4 \cdot 3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (5)}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.1

Bringe $5$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.2

Um $\frac{5 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $π$ von $10 π$ .

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})}{144}$

Schritt 12.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 12.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{144}$

Schritt 12.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{144}$

Schritt 12.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{144}$

Schritt 12.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{5 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{144}$

Schritt 12.2.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{5 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{144}$

Schritt 12.2.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$- \frac{5 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{144}$

Schritt 12.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{5 π^{2} \cdot - 1}{144}$

Schritt 12.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Schritt 12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 12.4

Multipliziere $- - \frac{5 π^{2}}{144}$ .

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Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $\frac{5 π^{2}}{144}$ mit $1$ .

$\frac{5 π^{2}}{144}$

Schritt 13

$x = 20$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 20$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 20$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot ((20) - 2))$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.1

Subtrahiere $2$ von $20$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot 18)$

Schritt 14.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 (2)} \cdot 18)$

Schritt 14.2.1.2.2

Faktorisiere $6$ aus $18$ heraus.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Schritt 14.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot 3))$

Schritt 14.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Schritt 14.2.1.3

Kombiniere $\frac{π}{2}$ und $3$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Schritt 14.2.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (20) = - 2 + 5 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Schritt 14.2.1.5

$f (20) = - 2 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 14.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 14.2.1.7

Multipliziere $5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (20) = - 2 + 5 \cdot - 1$

Schritt 14.2.1.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (20) = - 2 - 5$

Schritt 14.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$f (20) = - 7$

Schritt 14.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7$ .

$y = - 7$

Schritt 15

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 2 + 5 \sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 2))$ .

$(8, 3)$ ist ein lokales Maximum

$(20, - 7)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16