Analysis Beispiele

$y = x e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $y = x e^{- 11 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- 11 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 11 x^{2}}] + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 11 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 11 x^{2}$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 11 x^{2}]) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$x (e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 1} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Bringe $- 22$ auf die linke Seite von $e^{- 11 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 22 \cdot e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $e^{- 11 x^{2}}$ mit $1$ .

$x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Stelle die Terme um.

$- 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 2.10.2

Stelle die Faktoren in $- 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$ um.

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- 11 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 22$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 22 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- 11 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 22 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- 11 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.4

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{2} (e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - 22 (x \cdot x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.8.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 22 (x \cdot x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.8.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 22 (x^{1 + 2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.8.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.2.9

Bringe $- 22$ auf die linke Seite von $e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- 11 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 11 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})$

Schritt 3.3.2

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 22 (x^{3} (- 22 e^{- 11 x^{2}})) - 22 (e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 22$ mit $- 22$ .

$f'' (x) = 484 (x^{3} (e^{- 11 x^{2}})) - 22 (e^{- 11 x^{2}} (2 x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 22$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 44 (e^{- 11 x^{2}} (x)) + e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)$

Schritt 3.4.2.3

Bewege $e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 44 x e^{- 11 x^{2}} - 22 x e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 3.4.2.4

Subtrahiere $22 x e^{- 11 x^{2}}$ von $- 44 x e^{- 11 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 66 x e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 484 e^{- 11 x^{2}} x^{3} - 66 e^{- 11 x^{2}} x$

Schritt 3.4.4

Stelle die Faktoren in $484 e^{- 11 x^{2}} x^{3} - 66 e^{- 11 x^{2}} x$ um.

$f'' (x) = 484 x^{3} e^{- 11 x^{2}} - 66 x e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 11 x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 11 x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 11 x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 11 x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} (- 11 (2 x))) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 11$ .

$f' (x) = x (e^{- 11 x^{2}} (- 22 x)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- 11 x^{2}} \cdot (- 22)) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.7.2

Bringe $- 22$ auf die linke Seite von $e^{- 11 x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 22 \cdot e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1$

Schritt 5.1.9

Mutltipliziere $e^{- 11 x^{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 22 e^{- 11 x^{2}}) + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 5.1.10

Vereinfache.

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Schritt 5.1.10.1

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 5.1.10.2

Stelle die Faktoren in $- 22 e^{- 11 x^{2}} x^{2} + e^{- 11 x^{2}}$ um.

$f' (x) = - 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$ .

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $e^{- 11 x^{2}}$ aus $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}} + e^{- 11 x^{2}}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $e^{- 11 x^{2}}$ aus $- 22 x^{2} e^{- 11 x^{2}}$ heraus.

$e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2}) + e^{- 11 x^{2}} = 0$

Schritt 6.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $e^{- 11 x^{2}}$ aus $e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2}) + e^{- 11 x^{2}} \cdot 1$ heraus.

$e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2} + 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- 11 x^{2}} = 0$

$- 22 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{- 11 x^{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{- 11 x^{2}}$ gleich $0$ .

$e^{- 11 x^{2}} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{- 11 x^{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- 11 x^{2}}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- 11 x^{2}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Setze $- 22 x^{2} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $- 22 x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$- 22 x^{2} + 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $- 22 x^{2} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 22 x^{2} = - 1$

Schritt 6.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 22 x^{2} = - 1$ durch $- 22$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 22 x^{2} = - 1$ durch $- 22$ .

$\frac{- 22 x^{2}}{- 22} = \frac{- 1}{- 22}$

Schritt 6.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 22$ .

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Schritt 6.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 22 x^{2}}{- 22} = \frac{- 1}{- 22}$

Schritt 6.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 22}$

Schritt 6.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{22}$

Schritt 6.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{22}}$

Schritt 6.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{22}}$ .

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Schritt 6.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{22}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{22}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{22}}$

Schritt 6.5.2.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{22}}$

Schritt 6.5.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{22}}$ mit $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{22}} \cdot \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$

Schritt 6.5.2.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.2.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{22}}$ mit $\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{22} \sqrt{22}}$

Schritt 6.5.2.4.4.2

Potenziere $\sqrt{22}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} \sqrt{22}}$

Schritt 6.5.2.4.4.3

Potenziere $\sqrt{22}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1} {\sqrt{22}}^{1}}$

Schritt 6.5.2.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.5.2.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{\sqrt{22}}^{2}}$

Schritt 6.5.2.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

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Schritt 6.5.2.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.5.2.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.5.2.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.5.2.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.2.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.5.2.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22^{1}}$

Schritt 6.5.2.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{22}}{22}$

Schritt 6.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}$

Schritt 6.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Schritt 6.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- 11 x^{2}} (- 22 x^{2} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$484 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{3} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$484 \frac{{\sqrt{22}}^{3}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{22}}^{3}$ als $\sqrt{22^{3}}$ um.

$484 \frac{\sqrt{22^{3}}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.2.2

Potenziere $22$ mit $3$ .

$484 \frac{\sqrt{10648}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.2.3

Schreibe $10648$ als $22^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 10.1.2.3.1

Faktorisiere $484$ aus $10648$ heraus.

$484 \frac{\sqrt{484 (22)}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.2.3.2

Schreibe $484$ als $22^{2}$ um.

$484 \frac{\sqrt{22^{2} \cdot 22}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{22^{3}} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.3

Potenziere $22$ mit $3$ .

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{10648} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $484$ .

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $484$ aus $10648$ heraus.

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{484 (22)} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$484 \frac{22 \sqrt{22}}{484 \cdot 22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{22 \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $22$ .

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Schritt 10.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{22 \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.5.2

Dividiere $\sqrt{22}$ durch $1$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.7

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

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Schritt 10.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.8

Potenziere $22$ mit $2$ .

$\sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 10.1.9.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$\sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.9.2

Faktorisiere $11$ aus $484$ heraus.

$\sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $44$ .

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Schritt 10.1.10.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$\sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.10.2.1

Faktorisiere $22$ aus $44$ heraus.

$\sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.11

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$\sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.13

Kombiniere $\sqrt{22}$ und $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $22$ .

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Schritt 10.1.14.1

Faktorisiere $22$ aus $- 66$ heraus.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 (- 3) \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 \cdot - 3 \frac{\sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 10.1.15

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.16

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

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Schritt 10.1.16.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.16.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.16.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.16.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.16.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Schritt 10.1.17

Potenziere $22$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Schritt 10.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 10.1.18.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}}$

Schritt 10.1.18.2

Faktorisiere $11$ aus $484$ heraus.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Schritt 10.1.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Schritt 10.1.18.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Schritt 10.1.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $44$ .

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Schritt 10.1.19.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Schritt 10.1.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.19.2.1

Faktorisiere $22$ aus $44$ heraus.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 10.1.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 10.1.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.20

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 10.1.21

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.22

Multipliziere $- 3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 10.1.22.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $- 3$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{22}$

Schritt 10.1.22.2

Kombiniere $\frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{22}$ .

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.23

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{22} - 3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $3 \sqrt{22}$ von $\sqrt{22}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = (\frac{\sqrt{22}}{22}) \cdot e^{- 11 {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.2

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

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Schritt 12.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Schritt 12.2.3

Potenziere $22$ mit $2$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Schritt 12.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 (- 1) (\frac{22}{484})}$

Schritt 12.2.4.2

Faktorisiere $11$ aus $484$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Schritt 12.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Schritt 12.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Schritt 12.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $44$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Schritt 12.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.2.1

Faktorisiere $22$ aus $44$ heraus.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 12.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 12.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.6

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 12.2.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.8

Kombinieren.

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22} \cdot 1}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.9

Mutltipliziere $\sqrt{22}$ mit $1$ .

$f (\frac{\sqrt{22}}{22}) = \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.10

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$484 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{3} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$484 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{3}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$484 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{22}}^{3}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$484 (- \frac{{\sqrt{22}}^{3}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{22}}^{3}$ als $\sqrt{22^{3}}$ um.

$484 (- \frac{\sqrt{22^{3}}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.3.2

Potenziere $22$ mit $3$ .

$484 (- \frac{\sqrt{10648}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.3.3

Schreibe $10648$ als $22^{2} \cdot 22$ um.

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Schritt 14.1.3.3.1

Faktorisiere $484$ aus $10648$ heraus.

$484 (- \frac{\sqrt{484 (22)}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.3.3.2

Schreibe $484$ als $22^{2}$ um.

$484 (- \frac{\sqrt{22^{2} \cdot 22}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$484 (- \frac{22 \sqrt{22}}{22^{3}}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.4

Potenziere $22$ mit $3$ .

$484 (- \frac{22 \sqrt{22}}{10648}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $484$ .

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Schritt 14.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{22 \sqrt{22}}{10648}$ in den Zähler.

$484 \frac{- 22 \sqrt{22}}{10648} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.5.2

Faktorisiere $484$ aus $10648$ heraus.

$484 \frac{- 22 \sqrt{22}}{484 (22)} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$484 \frac{- 22 \sqrt{22}}{484 \cdot 22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 22 \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 22$ und $22$ .

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Schritt 14.1.6.1

Faktorisiere $22$ aus $- 22 \sqrt{22}$ heraus.

$\frac{22 (- \sqrt{22})}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.6.2.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$\frac{22 (- \sqrt{22})}{22 (1)} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{22 (- \sqrt{22})}{22 \cdot 1} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{22}}{1} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.6.2.4

Dividiere $- \sqrt{22}$ durch $1$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.7.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$- \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.7.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$- \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 (1 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.9

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}$ mit $1$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.10

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.11

Potenziere $22$ mit $2$ .

$- \sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.12.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$- \sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.12.2

Faktorisiere $11$ aus $484$ heraus.

$- \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $44$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.13.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$- \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.13.2.1

Faktorisiere $22$ aus $44$ heraus.

$- \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.14

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$- \sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.15

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.16

Kombiniere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{22}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 (- \frac{\sqrt{22}}{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $22$ .

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Schritt 14.1.17.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ in den Zähler.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 66 \frac{- \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.17.2

Faktorisiere $22$ aus $- 66$ heraus.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 (- 3) \frac{- \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.17.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 22 \cdot - 3 \frac{- \sqrt{22}}{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.17.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \sqrt{22}) e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 14.1.19

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.19.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2})}$

Schritt 14.1.19.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})}$

Schritt 14.1.20

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 (1 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}})}$

Schritt 14.1.21

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.22

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.22.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.22.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.22.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.22.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.22.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.22.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.22.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Schritt 14.1.23

Potenziere $22$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Schritt 14.1.24

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 14.1.24.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{11 (- 1) \frac{22}{484}}$

Schritt 14.1.24.2

Faktorisiere $11$ aus $484$ heraus.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Schritt 14.1.24.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{11 \cdot - 1 \frac{22}{11 \cdot 44}}$

Schritt 14.1.24.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Schritt 14.1.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $44$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.25.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Schritt 14.1.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.25.2.1

Faktorisiere $22$ aus $44$ heraus.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 14.1.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 14.1.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 14.1.26

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 14.1.27

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.1.28

Multipliziere $3 \sqrt{22} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 14.1.28.1

Kombiniere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $3$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{22}$

Schritt 14.1.28.2

Kombiniere $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ und $\sqrt{22}$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{22} + 3 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.2

Addiere $- \sqrt{22}$ und $3 \sqrt{22}$ .

$\frac{2 \sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

$x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = (- \frac{\sqrt{22}}{22}) \cdot e^{- 11 {(- \frac{\sqrt{22}}{22})}^{2}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 16.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{22}}{22})}^{2})}$

Schritt 16.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{22}}{22}$ an.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}))}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 (1 (\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}))}$

Schritt 16.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{\sqrt{22}}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.3

Schreibe ${\sqrt{22}}^{2}$ als $22$ um.

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Schritt 16.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{22}$ als $22^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{{(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{\frac{2}{2}}}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22^{1}}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 \frac{22}{22^{2}}}$

Schritt 16.2.4

Potenziere $22$ mit $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 11 (\frac{22}{484})}$

Schritt 16.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 16.2.5.1

Faktorisiere $11$ aus $- 11$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 (- 1) (\frac{22}{484})}$

Schritt 16.2.5.2

Faktorisiere $11$ aus $484$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Schritt 16.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{11 \cdot (- 1 \frac{22}{11 \cdot 44})}$

Schritt 16.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{22}{44})}$

Schritt 16.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $44$ .

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Schritt 16.2.6.1

Faktorisiere $22$ aus $22$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 (1)}{44}}$

Schritt 16.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.6.2.1

Faktorisiere $22$ aus $44$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 16.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 \frac{22 \cdot 1}{22 \cdot 2}}$

Schritt 16.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 16.2.7

Schreibe $- 1 (\frac{1}{2})$ als $- (\frac{1}{2})$ um.

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Schritt 16.2.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{22}}{22}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 22}$

Schritt 16.2.10

Bringe $22$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{22}}{22}) = - \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2.11

Die endgültige Lösung ist $- \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x e^{- 11 x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{22}}{22}, \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}})$ ist ein lokales Maximum

$(- \frac{\sqrt{22}}{22}, - \frac{\sqrt{22}}{22 e^{\frac{1}{2}}})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18