Analysis Beispiele

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Schritt 1

Schreibe $y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ als Funktion.

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 13 \cos (h x)$ nach $x$ gleich $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = h x$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $h x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2.3

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $h x$ nach $x$ gleich $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 13$ .

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 \sin (h x)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = h x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $h x$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

Schritt 2.3.3

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $h x$ nach $x$ gleich $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $13 h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13 h \sin (h x)$ nach $x$ gleich $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = h x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $h x$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.3

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $h x$ nach $x$ gleich $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.6

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.7

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $12 h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 h \cos (h x)$ nach $x$ gleich $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = h x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $h x$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

Schritt 3.3.3

Da $h$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $h x$ nach $x$ gleich $h \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

Schritt 3.3.7

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Schritt 3.3.8

Potenziere $h$ mit $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

Schritt 3.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

Schritt 3.3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (h x)$ .

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ nach $\tan (h x)$ um.

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 8

Dividiere $13 h$ durch $1$ .

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (h x)$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 9.2

Dividiere $12 h$ durch $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

Schritt 10

Separiere Brüche.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

Schritt 11

Wandle von $\frac{1}{\cos (h x)}$ nach $\sec (h x)$ um.

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

Schritt 12

Dividiere $0$ durch $1$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

Schritt 13

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (h x)$ .

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

Schritt 14

Subtrahiere $12 h$ von beiden Seiten der Gleichung.

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

Schritt 15

Teile jeden Ausdruck in $13 h \tan (h x) = - 12 h$ durch $13 h$ und vereinfache.

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Schritt 15.1

Teile jeden Ausdruck in $13 h \tan (h x) = - 12 h$ durch $13 h$ .

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Schritt 15.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 15.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Schritt 15.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Schritt 15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 15.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

Schritt 15.2.2.2

Dividiere $\tan (h x)$ durch $1$ .

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Schritt 15.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 15.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 15.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

Schritt 15.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

Schritt 15.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

Schritt 16

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

Schritt 17

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 17.1

Berechne $\arctan (- \frac{12}{13})$ .

$h x = - 0.74541947$

Schritt 18

Teile jeden Ausdruck in $h x = - 0.74541947$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 18.1

Teile jeden Ausdruck in $h x = - 0.74541947$ durch $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Schritt 18.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 18.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 18.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

Schritt 18.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

Schritt 18.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 18.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

Schritt 19

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

Schritt 20

Addiere $2 π$ zu $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 21

Der resultierende Winkel von $2.39617317$ ist positiv und gleich $- 0.74541947 - (3.14159265)$ .

$h x = 2.39617317$

Schritt 22

Teile jeden Ausdruck in $h x = 2.39617317$ durch $h$ und vereinfache.

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Schritt 22.1

Teile jeden Ausdruck in $h x = 2.39617317$ durch $h$ .

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Schritt 22.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 22.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 22.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

Schritt 22.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2.39617317}{h}$

Schritt 23

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{2.39617317}{h}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Schritt 24

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 24.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Schritt 24.1.2

Forme den Ausdruck um.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

Schritt 24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 24.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

Schritt 24.2.2

Forme den Ausdruck um.

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

Schritt 25

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 26