Analysis Beispiele

$y = 120 x^{2} \cdot (15 x^{4})$

Schritt 1

Schreibe $y = 120 x^{2} \cdot (15 x^{4})$ als Funktion.

$f (x) = 120 x^{2} \cdot (15 x^{4})$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $15$ mit $120$ .

$\frac{d}{d x} [1800 x^{2} \cdot x^{4}]$

Schritt 2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1800 (x^{4} x^{2})]$

Schritt 2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [1800 x^{4 + 2}]$

Schritt 2.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [1800 x^{6}]$

Schritt 2.3

Da $1800$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1800 x^{6}$ nach $x$ gleich $1800 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$1800 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$1800 (6 x^{5})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $6$ mit $1800$ .

$10800 x^{5}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $10800$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10800 x^{5}$ nach $x$ gleich $10800 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 10800 \frac{d}{d x} (x^{5})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 10800 (5 x^{4})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $5$ mit $10800$ .

$f'' (x) = 54000 x^{4}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$10800 x^{5} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $15$ mit $120$ .

$\frac{d}{d x} [1800 x^{2} \cdot x^{4}]$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1800 (x^{4} x^{2})]$

Schritt 5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [1800 x^{4 + 2}]$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [1800 x^{6}]$

Schritt 5.1.3

Da $1800$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1800 x^{6}$ nach $x$ gleich $1800 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$1800 \frac{d}{d x} [x^{6}]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$1800 (6 x^{5})$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $1800$ .

$f' (x) = 10800 x^{5}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $10800 x^{5}$ .

$10800 x^{5}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10800 x^{5} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$10800 x^{5} = 0$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $10800 x^{5} = 0$ durch $10800$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10800 x^{5} = 0$ durch $10800$ .

$\frac{10800 x^{5}}{10800} = \frac{0}{10800}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10800$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10800 x^{5}}{10800} = \frac{0}{10800}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{10800}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $0$ durch $10800$ .

$x^{5} = 0$

Schritt 6.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 6.4

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 6.4.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 6.4.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$54000 {(0)}^{4}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$54000 \cdot 0$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $54000$ mit $0$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $10800 x^{5}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 10800 {(- 2)}^{5}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f' (- 2) = 10800 \cdot - 32$

Schritt 11.2.2.2

Mutltipliziere $10800$ mit $- 32$ .

$f' (- 2) = - 345600$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 345600$ .

$- 345600$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $10800 x^{5}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 10800 {(2)}^{5}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f' (2) = 10800 \cdot 32$

Schritt 11.3.2.2

Mutltipliziere $10800$ mit $32$ .

$f' (2) = 345600$

Schritt 11.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $345600$ .

$345600$

Schritt 11.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Minimum.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12