Analysis Beispiele

$y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ als Funktion.

$f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 700 - \frac{4 x}{3}$ und $g (x) = x$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $700 - \frac{4 x}{3}$ mit $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $700 - \frac{4 x}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Schritt 2.3.4

Da $700$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $700$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Schritt 2.3.6

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Schritt 2.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $\frac{4 x}{3}$ von $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Schritt 2.3.9.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Schritt 2.3.9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.9.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Schritt 2.3.9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Schritt 2.4.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Schritt 2.4.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Schritt 2.4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{16 x}{3} + 1400$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}] + \frac{d}{d x} [1400]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{16 x}{3}) + \frac{d}{d x} (1400)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{16 x}{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{16}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{16}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1400)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1400)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + \frac{d}{d x} (1400)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $1400$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1400$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $- \frac{16}{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{3}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [(700 - \frac{4 x}{3}) x]$

Schritt 5.1.2

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 ((700 - \frac{4 x}{3}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $700 - \frac{4 x}{3}$ mit $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [700 - \frac{4 x}{3}])$

Schritt 5.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $700 - \frac{4 x}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (\frac{d}{d x} [700] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Schritt 5.1.3.4

Da $700$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $700$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]))$

Schritt 5.1.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}])$

Schritt 5.1.3.6

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} + x (- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.1.3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.3.7.1

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{3}$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{x \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.3.7.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 \cdot x}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3} \cdot 1)$

Schritt 5.1.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (700 - \frac{4 x}{3} - \frac{4 x}{3})$

Schritt 5.1.3.9.2

Subtrahiere $\frac{4 x}{3}$ von $- \frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 - 2 \frac{4 x}{3})$

Schritt 5.1.3.9.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4 x}{3}$ .

$2 (700 + \frac{- 2 (4 x)}{3})$

Schritt 5.1.3.9.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.9.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$2 (700 + \frac{- 8 x}{3})$

Schritt 5.1.3.9.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (700 - \frac{8 x}{3})$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 700 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Schritt 5.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $700$ .

$1400 + 2 (- \frac{8 x}{3})$

Schritt 5.1.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1400 - 2 \frac{8 x}{3}$

Schritt 5.1.4.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{8 x}{3}$ .

$1400 + \frac{- 2 (8 x)}{3}$

Schritt 5.1.4.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$1400 + \frac{- 16 x}{3}$

Schritt 5.1.4.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1400 - \frac{16 x}{3}$

Schritt 5.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{16 x}{3} + 1400$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{16 x}{3} + 1400$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{16 x}{3} + 1400 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1400$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{16 x}{3} = - 1400$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{16}$ .

$- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{16} (- \frac{16 x}{3})$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{16} (- \frac{16 x}{3}) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{16 x}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{16} \cdot \frac{- 16 x}{3} = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{16} (- 16 x) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 6.4.1.1.2.1

Faktorisiere $16$ aus $- 16 x$ heraus.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{16} (16 (- x)) = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 6.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - \frac{3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache $- \frac{3}{16} \cdot - 1400$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{16}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 3}{16} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$x = \frac{- 3}{8 (2)} \cdot - 1400$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Faktorisiere $8$ aus $- 1400$ heraus.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Schritt 6.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 175)$

Schritt 6.4.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 3}{2} \cdot - 175$

Schritt 6.4.2.1.2

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $- 175$ .

$x = \frac{- 3 \cdot - 175}{2}$

Schritt 6.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 175$ .

$x = \frac{525}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{525}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{525}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{16}{3}$

Schritt 10

$x = \frac{525}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{525}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{525}{2}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{525}{2}) = 2 (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) (\frac{525}{2})$

Schritt 11.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{4 (\frac{525}{2})}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{525}{2}$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{4 \cdot 525}{2}}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2100}{2}}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2100$ und $2$ .

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Schritt 11.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2100$ heraus.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2}}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 (1)}}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{2 \cdot 1050}{2 \cdot 1}}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{\frac{1050}{1}}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.1.2.4

Dividiere $1050$ durch $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{1050}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1050$ und $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $1050$ heraus.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 (1)}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{3 \cdot 350}{3 \cdot 1}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{525}{2}) = (700 - \frac{350}{1}) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.2.2.4

Dividiere $350$ durch $1$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 1 \cdot 350) \cdot 525$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $350$ .

$f (\frac{525}{2}) = (700 - 350) \cdot 525$

Schritt 11.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.3.1

Subtrahiere $350$ von $700$ .

$f (\frac{525}{2}) = 350 \cdot 525$

Schritt 11.2.3.2

Mutltipliziere $350$ mit $525$ .

$f (\frac{525}{2}) = 183750$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $183750$ .

$y = 183750$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 (700 - \frac{4 x}{3}) x$ .

$(\frac{525}{2}, 183750)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 13