Analysis Beispiele

$y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 1

Schreibe $y = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ als Funktion.

$f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\frac{d}{d x} [2 \csc (x)]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \csc (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 (\csc (x) \cot (x))$

Schritt 2.4.2

Stelle die Faktoren von $- 2 \csc (x) \cot (x)$ um.

$- 2 \cot (x) \csc (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cot (x) \csc (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (\cot (x) \csc (x))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = \csc (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) \frac{d}{d x} (\csc (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Schritt 3.4

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Schritt 3.5

Potenziere $\cot (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) (\cot (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Schritt 3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} (\cot (x)))$

Schritt 3.8

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Schritt 3.9

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)))$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 2 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Schritt 3.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 2 (- \csc^{3} (x))$

Schritt 3.12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \csc (x) \cot^{2} (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Schritt 3.12.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 2 \cot^{2} (x) \csc (x) + 2 \csc^{3} (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Schritt 6

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\cot (x)$ gleich $0$ .

$\cot (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\cot (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Kotangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kotangens herauszuziehen.

$x = arccot (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $arccot (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.3

Die Kotangens-Funktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu ermitteln, addiere den Referenzwinkel aus $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu bestimmen.

$x = π + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $π + \frac{π}{2}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 6.2.4.3.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 7

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\csc (x)$ gleich $0$ .

$\csc (x) = 0$

Schritt 7.2

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 \cot (x) \csc (x) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.4

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 2 \cdot 1^{3}$

Schritt 10.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 10.2

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 11

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{π}{2})})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 12.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (\frac{1}{1})$

Schritt 12.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kotangens im vierten Quadranten negativ ist.

$2 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$2 {(- 0)}^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 \cdot 0^{2} \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.6

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.7

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.8

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 14.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 \cdot - 1 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 2 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

Schritt 14.1.9

$0 + 2 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

Schritt 14.1.10

Der genau Wert von $\csc (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 2 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 14.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 2 {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.1.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 + 2 \cdot - 1$

Schritt 14.1.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2$

Schritt 14.2

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 15

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{\sin (\frac{3 π}{2})})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- \sin (\frac{π}{2})})$

Schritt 16.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1 \cdot 1})$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 (\frac{1}{- 1})$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 16.2.2.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Schritt 16.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 (\frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 π}{2}, - 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18