Analysis Beispiele

$y = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $y = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.8.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.8.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 2.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 2.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 2.15

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Schritt 2.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.16.1

Addiere $1$ und $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Schritt 2.16.2

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.17.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ und $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.2.3

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.17.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.3

Stelle die Terme um.

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.4.1

Mutltipliziere $x - 3$ mit $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.4.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.17.5

Um $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.17.7.1

Faktorisiere $6$ aus $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

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Schritt 2.17.7.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 (x - 3)$ heraus.

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.1.2

Faktorisiere $6$ aus $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.4

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.7.4.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.4.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.5

Vereinfache $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.8

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2.17.7.9

Subtrahiere $3$ von $- 6$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 9}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 5 x - 9$ und $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}})$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}})$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (5 x - 9) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + \frac{d}{d x} (- 9)) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (5 + 0) - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3.7.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.9.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.9.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.13.3

Kombiniere $6$ und $\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - (5 x - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

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Schritt 3.14.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $6 (- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + 6 ((- 1 \cdot 5 x - - 9) \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 1 \cdot (5 x) + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.14.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + (- 5 x + 9) (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}))}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.3

Mutltipliziere $- 5 x + 9$ mit $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.4

Um $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.5

Kombiniere $5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.7

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8

Schreibe $\frac{3 \cdot 5 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.14.3.8.1

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.3.8.1.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.1.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}}) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.1.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.2

Vereinfache $3 \cdot 5 {(x - 1)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{3 \cdot (5 (x - 1)) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 (x - 1) - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x + 15 \cdot - 1 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.5

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{15 x - 15 - 5 x + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.6

Subtrahiere $5 x$ von $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 15 + 9}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.7

Addiere $- 15$ und $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{10 x - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.8

Faktorisiere $2$ aus $10 x - 6$ heraus.

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Schritt 3.14.3.8.8.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) - 6}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x) + 2 (- 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.3.8.8.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 (\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.14.4.1

Kombiniere $6$ und $\frac{2 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 (2 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{12 (5 x - 3)}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.3

Faktorisiere $3$ aus $12 (5 x - 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.14.4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (4 (5 x - 3))}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.5

Schreibe $\frac{\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.6

Mutltipliziere $\frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.7

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.4.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Schritt 3.14.4.7.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (5 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [(x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 5.1.2

$18 ((x - 3) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}] + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 5.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.7.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.8.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.8.3

Bringe ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 ((x - 3) (\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.12.1

Addiere $1$ und $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.12.2

Mutltipliziere $x - 3$ mit $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Schritt 5.1.13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 5.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Schritt 5.1.15

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0))$

Schritt 5.1.16

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.16.1

Addiere $1$ und $0$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1)$

Schritt 5.1.16.2

Mutltipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})$

Schritt 5.1.17

Vereinfache.

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Schritt 5.1.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$18 ((x - 3) \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.17.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ und $18$ .

$\frac{2 \cdot 18}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$\frac{36}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.2.3

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.17.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 \cdot 12}{3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 12}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.3

Stelle die Terme um.

$(x - 3) \frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.17.4.1

Mutltipliziere $x - 3$ mit $\frac{12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 12}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.4.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5.1.17.5

Um $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{12 (x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.17.7.1

Faktorisiere $6$ aus $12 (x - 3) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.17.7.1.1

Faktorisiere $6$ aus $12 (x - 3)$ heraus.

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.1.2

Faktorisiere $6$ aus $18 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 (x - 3)) + 6 (3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})$ heraus.

$\frac{6 (2 (x - 3) + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 x + 2 \cdot - 3 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.4

Multipliziere ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.17.7.4.1

Bewege ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{\frac{3}{3}})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.4.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 {(x - 1)}^{1})}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.5

Vereinfache $3 {(x - 1)}^{1}$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 (x - 1))}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x + 3 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{6 (2 x - 6 + 3 x - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.8

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$\frac{6 (5 x - 6 - 3)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.1.17.7.9

Subtrahiere $3$ von $- 6$ .

$f' (x) = \frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$6 (5 x - 9) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (5 x - 9) = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (5 x - 9) = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (5 x - 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $5 x - 9$ durch $1$ .

$5 x - 9 = \frac{0}{6}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$5 x - 9 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 9$

Schritt 6.3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 9$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 9$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

Schritt 6.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{9}{5}$

Schritt 6.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{5}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{6 (5 x - 9)}{\sqrt[3]{x - 1}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x - 1} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x - 1}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 1 = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 7.3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{9}{5}, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{9}{5}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 10.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (5 (\frac{9}{5}) - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (9 - 3)}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.4.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$\frac{4 \cdot 6}{{(\frac{4}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$\frac{4 \cdot 6}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{24}{\frac{4^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Schritt 10.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$24 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 10.5

Kombiniere $24$ und $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{24 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 11

$x = \frac{9}{5}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{9}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{9}{5}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 ((\frac{9}{5}) - 3) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5}) {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 3 \cdot 5}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{9 - 15}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.4.2

Subtrahiere $15$ von $9$ .

$f (\frac{9}{5}) = 18 (\frac{- 6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{9}{5}) = 18 (- \frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.6

Multipliziere $18 (- \frac{6}{5})$ .

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Schritt 12.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$f (\frac{9}{5}) = - 18 (\frac{6}{5}) \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.6.2

Kombiniere $- 18$ und $\frac{6}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 18 \cdot 6}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.6.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $6$ .

$f (\frac{9}{5}) = \frac{- 108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {((\frac{9}{5}) - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 1 \cdot 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{9 - 5}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.11.2

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot {(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 12.2.12

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{5}$ an.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 12.2.13

Multipliziere $- \frac{108}{5} \cdot \frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ .

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Schritt 12.2.13.1

Mutltipliziere $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{108}{5}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Schritt 12.2.13.2

Multipliziere $5^{\frac{2}{3}}$ mit $5$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.13.2.1

Mutltipliziere $5^{\frac{2}{3}}$ mit $5$ .

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Schritt 12.2.13.2.1.1

Potenziere $5$ mit $1$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Schritt 12.2.13.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Schritt 12.2.13.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.13.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Schritt 12.2.13.2.4

Addiere $2$ und $3$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{4^{\frac{2}{3}} \cdot 108}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 12.2.14

Bringe $108$ auf die linke Seite von $4^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{9}{5}) = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 12.2.15

Die endgültige Lösung ist $- \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{108 \cdot 4^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{((1) - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{{(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 14.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0^{4}}$

Schritt 14.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{4 (5 (1) - 3)}{0}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{9}{5}) \cup (\frac{9}{5}, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die erste Ableitung $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (5 (0) - 9)}{{((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f' (0) = \frac{6 (0 - 9)}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.2.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 15.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 15.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Schritt 15.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

Schritt 15.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$f' (0) = \frac{6 \cdot - 9}{- 1}$

Schritt 15.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.2.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$f' (0) = \frac{- 54}{- 1}$

Schritt 15.2.2.3.2

Dividiere $- 54$ durch $- 1$ .

$f' (0) = 54$

Schritt 15.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $54$ .

$54$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1.4$ , aus dem Intervall $(1, \frac{9}{5})$ in die erste Ableitung $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 (5 (1.4) - 9)}{{((1.4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 (7 - 9)}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $7$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{(1.4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $1.4$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{{0.4}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.3.2.2.2

Potenziere $0.4$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.4) = \frac{6 \cdot - 2}{0.73680629}$

Schritt 15.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.3.2.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$f' (1.4) = \frac{- 12}{0.73680629}$

Schritt 15.3.2.3.2

Dividiere $- 12$ durch $0.73680629$ .

$f' (1.4) = - 16.28650569$

Schritt 15.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 16.28650569$ .

$- 16.28650569$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\frac{9}{5}, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{6 (5 x - 9)}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = \frac{6 (5 (4) - 9)}{{((4) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.4.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$f' (4) = \frac{6 (20 - 9)}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $20$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{{(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 15.4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$f' (4) = \frac{6 \cdot 11}{3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $11$ .

$f' (4) = \frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{66}{3^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Maximum.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = \frac{9}{5}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{9}{5}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{9}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 18 (x - 3) {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{9}{5}$ ist ein lokales Minimum

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{9}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16