Analysis Beispiele

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Schreibe $y = x e^{\frac{1}{x}}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{x}}$ .

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.3

Schreibe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ als $- e^{\frac{1}{x}}$ um.

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{x}}$ mit $1$ .

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 2.9.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ und $g (x) = x$ .

$f'' (x) = - \frac{x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.10

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.11

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.12

Schreibe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ als $- e^{\frac{1}{x}}$ um.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.14

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.2.15

Addiere $- \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

Schritt 3.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 3.4.3.2

Kombiniere $e^{\frac{1}{x}}$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{- (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.2

Multipliziere $- - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ .

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Schritt 3.4.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1 (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.3

Multipliziere $- - e^{\frac{1}{x}}$ .

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Schritt 3.4.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.3.2

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{x}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.4

Subtrahiere $e^{\frac{1}{x}}$ von $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 0}{x^{2}}$

Schritt 3.4.4.5

Addiere $\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}{x^{2}}$

Schritt 3.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.4.6

Kombinieren.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.4.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

Schritt 3.4.7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

Schritt 3.4.7.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{3}}$

Schritt 3.4.8

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{x}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.6.1

Addiere $- 2$ und $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.6.3

Schreibe $- 1 e^{\frac{1}{x}}$ als $- e^{\frac{1}{x}}$ um.

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 5.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{x}}$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.1.9

Vereinfache.

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Schritt 5.1.9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.1.9.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $e^{\frac{1}{x}}$ .

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ heraus.

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} = 0$

Schritt 6.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $e^{\frac{1}{x}}$ aus $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$ heraus.

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{\frac{1}{x}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{\frac{1}{x}}$ gleich $0$ .

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{\frac{1}{x}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{\frac{1}{x}}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{\frac{1}{x}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Setze $- \frac{1}{x} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $- \frac{1}{x} + 1$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x} = - 1$

Schritt 6.5.2.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.5.2.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 6.5.2.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 6.5.2.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = - 1$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.5.2.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x} = - 1$ mit $x$ .

$- \frac{1}{x} x = - x$

Schritt 6.5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.5.2.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Schritt 6.5.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x} x = - x$

Schritt 6.5.2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - x$

Schritt 6.5.2.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.2.4.1

Schreibe die Gleichung als $- x = - 1$ um.

$- x = - 1$

Schritt 6.5.2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 6.5.2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.4.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 10.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$\frac{e}{1^{3}}$

Schritt 10.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e}{1}$

Schritt 10.4

Dividiere $e$ durch $1$ .

$e$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) \cdot e^{\frac{1}{1}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $e^{\frac{1}{1}}$ mit $1$ .

$f (1) = e^{\frac{1}{1}}$

Schritt 12.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (1) = e$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $e$ .

$y = e$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$ .

$(1, e)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14