Analysis Beispiele

$y = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Schritt 1

Schreibe $y = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ und $0$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24 x$ nach $x$ gleich $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 24 \cdot 1$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 18 x - 24$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 5.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x + 0$

Schritt 5.1.5.2

Addiere $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3 x$ aus $12 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3 x$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$3 x (4 x^{2}) - 9 x^{2} - 24 x = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $3 x$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$3 x (4 x^{2}) + 3 x (- 3 x) - 24 x = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$3 x (4 x^{2}) + 3 x (- 3 x) + 3 x (- 8) = 0$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (4 x^{2}) + 3 x (- 3 x)$ heraus.

$3 x (4 x^{2} - 3 x) + 3 x (- 8) = 0$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (4 x^{2} - 3 x) + 3 x (- 8)$ heraus.

$3 x (4 x^{2} - 3 x - 8) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 8 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $4 x^{2} - 3 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $4 x^{2} - 3 x - 8$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 3 x - 8 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $4 x^{2} - 3 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 3$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 8)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.3.1.3

Addiere $9$ und $128$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{8}$

Schritt 6.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Schritt 6.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.4.1.3

Addiere $9$ und $128$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{8}$

Schritt 6.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$

Schritt 6.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ .

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Schritt 6.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.5.1.3

Addiere $9$ und $128$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{137}}{8}$

Schritt 6.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Schritt 6.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 x (4 x^{2} - 3 x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 - 24$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$36 \cdot 0 - 18 \cdot 0 - 24$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $36$ mit $0$ .

$0 - 18 \cdot 0 - 24$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $0$ .

$0 + 0 - 24$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 - 24$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $24$ von $0$ .

$- 24$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 3 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 3 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 12.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{2} + 5$

Schritt 12.2.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0 + 5$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 5$

Schritt 12.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 12.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 5$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 5$

Schritt 12.2.2.3

Addiere $0$ und $5$ .

$f (0) = 5$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$y = 5$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ an.

$36 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$36 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$4 (9) \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 \cdot 9 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 9 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.4

Kombiniere $9$ und $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$\frac{9 {(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.5

Schreibe ${(3 + \sqrt{137})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ um.

$\frac{9 ((3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.6

Multipliziere $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 14.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (3 (3 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 14.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{137}$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.1.4

Mutltipliziere $137$ mit $137$ .

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{18769})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.1.5

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{9 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + 137)}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.2

Addiere $9$ und $137$ .

$\frac{9 (146 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.7.3

Addiere $3 \sqrt{137}$ und $3 \sqrt{137}$ .

$\frac{9 (146 + 6 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $146 + 6 \sqrt{137}$ und $16$ .

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Schritt 14.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $9 (146 + 6 \sqrt{137})$ heraus.

$\frac{2 (9 (73 + 3 \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (9 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (9 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - 18 \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 (- 9) \frac{3 + \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 14.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 + \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Schritt 14.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 + \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Schritt 14.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - 9 \frac{3 + \sqrt{137}}{4} - 24$

Schritt 14.1.10

Kombiniere $- 9$ und $\frac{3 + \sqrt{137}}{4}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{- 9 (3 + \sqrt{137})}{4} - 24$

Schritt 14.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4} - 24$

Schritt 14.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 14.2.1

Mutltipliziere $\frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - (\frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 24$

Schritt 14.2.2

Mutltipliziere $\frac{9 (3 + \sqrt{137})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

Schritt 14.2.3

Schreibe $- 24$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

Schritt 14.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 24}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 14.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 24}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 (73 + 3 \sqrt{137}) - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 73 + 9 (3 \sqrt{137}) - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $73$ .

$\frac{657 + 9 (3 \sqrt{137}) - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 9 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} + (- 9 \cdot 3 - 9 \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} + (- 27 - 9 \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 27 \cdot 2 - 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.7

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 54 - 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 54 - 18 \sqrt{137} - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 14.4.9

Mutltipliziere $- 24$ mit $8$ .

$\frac{657 + 27 \sqrt{137} - 54 - 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Schritt 14.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 14.5.1

Subtrahiere $54$ von $657$ .

$\frac{603 + 27 \sqrt{137} - 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Schritt 14.5.2

Subtrahiere $192$ von $603$ .

$\frac{411 + 27 \sqrt{137} - 18 \sqrt{137}}{8}$

Schritt 14.5.3

Subtrahiere $18 \sqrt{137}$ von $27 \sqrt{137}$ .

$\frac{411 + 9 \sqrt{137}}{8}$

Schritt 15

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.4.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (9 {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.5

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 {\sqrt{137}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 16.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 16.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137 + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

Schritt 16.2.1.4.7

Mutltipliziere $54$ mit $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 {\sqrt{137}}^{3} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.9

Schreibe ${\sqrt{137}}^{3}$ als $\sqrt{137^{3}}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{137^{3}} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.10

Potenziere $137$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{2571353} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.11

Schreibe $2571353$ als $137^{2} \cdot 137$ um.

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Schritt 16.2.1.4.11.1

Faktorisiere $18769$ aus $2571353$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{18769 (137)} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.11.2

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{137^{2} \cdot 137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (137 \sqrt{137}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.13

Mutltipliziere $137$ mit $12$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14

Schreibe ${\sqrt{137}}^{4}$ als $137^{2}$ um.

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Schritt 16.2.1.4.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{4}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.4.14.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.4.14.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.14.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{2}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.4.15

Potenziere $137$ mit $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.5

Addiere $81$ und $7398$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{7479 + 108 \sqrt{137} + 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.6

Addiere $7479$ und $18769$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 + 108 \sqrt{137} + 1644 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.7

Addiere $108 \sqrt{137}$ und $1644 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 + 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26248 + 1752 \sqrt{137}$ und $4096$ .

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Schritt 16.2.1.8.1

Faktorisiere $8$ aus $26248$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) + 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.8.2

Faktorisiere $8$ aus $1752 \sqrt{137}$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) + 8 (219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.8.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (3281) + 8 (219 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.1.8.4.1

Faktorisiere $8$ aus $4096$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512}) - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.11

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.12

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.13.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.2.1.13.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 16.2.1.13.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

Schritt 16.2.1.13.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{1 + 2} \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{3} \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 {\sqrt{137}}^{2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.5

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 16.2.1.13.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.13.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.6

Mutltipliziere $9$ mit $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.7

Schreibe ${\sqrt{137}}^{3}$ als $\sqrt{137^{3}}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{137^{3}}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.8

Potenziere $137$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{2571353}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.9

Schreibe $2571353$ als $137^{2} \cdot 137$ um.

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Schritt 16.2.1.13.9.1

Faktorisiere $18769$ aus $2571353$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{18769 (137)}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.9.2

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{137^{2} \cdot 137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.13.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.14

Addiere $27$ und $1233$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 + 27 \sqrt{137} + 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.15

Addiere $27 \sqrt{137}$ und $137 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 + 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1260 + 164 \sqrt{137}$ und $512$ .

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Schritt 16.2.1.16.1

Faktorisiere $4$ aus $1260$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) + 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.16.2

Faktorisiere $4$ aus $164 \sqrt{137}$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) + 4 (41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.16.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (315) + 4 (41 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.16.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.1.16.4.1

Faktorisiere $4$ aus $512$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.16.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.16.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.17

Kombiniere $- 3$ und $\frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} + \frac{- 3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{(3) (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 16.2.1.19

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 5$

Schritt 16.2.1.20

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} + 5$

Schritt 16.2.1.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 16.2.1.21.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64}) + 5$

Schritt 16.2.1.21.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Schritt 16.2.1.21.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Schritt 16.2.1.21.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.22

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 {(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.23

Schreibe ${(3 + \sqrt{137})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 ((3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.24

Multipliziere $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 (3 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.24.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.25.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.25.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.1.4

Mutltipliziere $137$ mit $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{18769})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.1.5

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.2

Addiere $9$ und $137$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.25.3

Addiere $3 \sqrt{137}$ und $3 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 + 6 \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $146 + 6 \sqrt{137}$ und $16$ .

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Schritt 16.2.1.26.1

Faktorisiere $2$ aus $- 3 (146 + 6 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 16.2.1.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.2.1.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} + 5$

Schritt 16.2.1.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} + 5$

Schritt 16.2.1.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 16.2.1.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 16.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 16.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - (\frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 16.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 (315 + 41 \sqrt{137})}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 16.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} \cdot \frac{64}{64}) + 5$

Schritt 16.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + 5$

Schritt 16.2.2.5

Schreibe $5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1}$

Schritt 16.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1} \cdot \frac{512}{512}$

Schritt 16.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{512}{512}$ .

Schritt 16.2.2.8

Stelle die Faktoren von $128 \cdot 4$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.2.10

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{512} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 + 219 \sqrt{137}) - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 \cdot 3281 + 3 (219 \sqrt{137}) - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3281$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 3 (219 \sqrt{137}) - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.3

Mutltipliziere $219$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3 (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 315 - 3 (41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $315$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} + (- 945 - 3 (41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.6

Mutltipliziere $41$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} + (- 945 - 123 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 945 \cdot 4 - 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.8

Mutltipliziere $- 945$ mit $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 123$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 3 (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 73 - 3 (3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $73$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} + (- 219 - 3 (3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} + (- 219 - 9 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 219 \cdot 64 - 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.14

Mutltipliziere $- 219$ mit $64$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 14016 - 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.15

Mutltipliziere $64$ mit $- 9$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 14016 - 576 \sqrt{137} + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 16.2.4.16

Mutltipliziere $5$ mit $512$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 657 \sqrt{137} - 3780 - 492 \sqrt{137} - 14016 - 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Schritt 16.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 16.2.5.1

Subtrahiere $3780$ von $9843$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{6063 + 657 \sqrt{137} - 492 \sqrt{137} - 14016 - 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Schritt 16.2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 16.2.5.2.1

Subtrahiere $14016$ von $6063$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 7953 + 657 \sqrt{137} - 492 \sqrt{137} - 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Schritt 16.2.5.2.2

Addiere $- 7953$ und $2560$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 + 657 \sqrt{137} - 492 \sqrt{137} - 576 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 16.2.5.3

Subtrahiere $492 \sqrt{137}$ von $657 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 + 165 \sqrt{137} - 576 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 16.2.5.4

Subtrahiere $576 \sqrt{137}$ von $165 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 16.2.5.5

Schreibe $- 5393$ als $- 1 (5393)$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 16.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 411 \sqrt{137}$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 - (411 \sqrt{137})}{512}$

Schritt 16.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5393) - (411 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 (5393 + 411 \sqrt{137})}{512}$

Schritt 16.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = - \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 16.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$ .

$y = - \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ an.

$36 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$36 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 18.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$4 (9) \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 \cdot 9 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 9 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$9 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.4

Kombiniere $9$ und $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$\frac{9 {(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.5

Schreibe ${(3 - \sqrt{137})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ um.

$\frac{9 ((3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.6

Multipliziere $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 18.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (3 (3 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 18.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 (9 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.4

Multipliziere $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ .

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Schritt 18.1.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.4.3

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.4.4

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} {\sqrt{137}}^{1})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.5

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 18.1.7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.1.7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{1})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.2

Addiere $9$ und $137$ .

$\frac{9 (146 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.7.3

Subtrahiere $3 \sqrt{137}$ von $- 3 \sqrt{137}$ .

$\frac{9 (146 - 6 \sqrt{137})}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $146 - 6 \sqrt{137}$ und $16$ .

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Schritt 18.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $9 (146 - 6 \sqrt{137})$ heraus.

$\frac{2 (9 (73 - 3 \sqrt{137}))}{16} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (9 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (9 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - 18 \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 (- 9) \frac{3 - \sqrt{137}}{8} - 24$

Schritt 18.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 - \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Schritt 18.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot - 9 \frac{3 - \sqrt{137}}{2 \cdot 4} - 24$

Schritt 18.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - 9 \frac{3 - \sqrt{137}}{4} - 24$

Schritt 18.1.10

Kombiniere $- 9$ und $\frac{3 - \sqrt{137}}{4}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{- 9 (3 - \sqrt{137})}{4} - 24$

Schritt 18.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4} - 24$

Schritt 18.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 18.2.1

Mutltipliziere $\frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - (\frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 24$

Schritt 18.2.2

Mutltipliziere $\frac{9 (3 - \sqrt{137})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 24$

Schritt 18.2.3

Schreibe $- 24$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1}$

Schritt 18.2.4

Mutltipliziere $\frac{- 24}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 18.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 24}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{8} + \frac{- 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{9 (73 - 3 \sqrt{137}) - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 \cdot 73 + 9 (- 3 \sqrt{137}) - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $73$ .

$\frac{657 + 9 (- 3 \sqrt{137}) - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $9$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 9 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} + (- 9 \cdot 3 - 9 (- \sqrt{137})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} + (- 27 - 9 (- \sqrt{137})) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} + (- 27 + 9 \sqrt{137}) \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 27 \cdot 2 + 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.8

Mutltipliziere $- 27$ mit $2$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 54 + 9 \sqrt{137} \cdot 2 - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 54 + 18 \sqrt{137} - 24 \cdot 8}{8}$

Schritt 18.4.10

Mutltipliziere $- 24$ mit $8$ .

$\frac{657 - 27 \sqrt{137} - 54 + 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Schritt 18.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 18.5.1

Subtrahiere $54$ von $657$ .

$\frac{603 - 27 \sqrt{137} + 18 \sqrt{137} - 192}{8}$

Schritt 18.5.2

Subtrahiere $192$ von $603$ .

$\frac{411 - 27 \sqrt{137} + 18 \sqrt{137}}{8}$

Schritt 18.5.3

Addiere $- 27 \sqrt{137}$ und $18 \sqrt{137}$ .

$\frac{411 - 9 \sqrt{137}}{8}$

Schritt 19

$x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{4} - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.4.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 + 108 (- \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {(- \sqrt{137})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.7

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{137}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 (1 {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.9

Mutltipliziere ${\sqrt{137}}^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {\sqrt{137}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.10

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 20.2.1.4.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.1.4.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 20.2.1.4.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.10.5

Berechne den Exponenten.

Schritt 20.2.1.4.11

Mutltipliziere $54$ mit $137$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 {(- \sqrt{137})}^{3} + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.13

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{137}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{137}}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- {\sqrt{137}}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.15

Schreibe ${\sqrt{137}}^{3}$ als $\sqrt{137^{3}}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{137^{3}}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.16

Potenziere $137$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{2571353}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.17

Schreibe $2571353$ als $137^{2} \cdot 137$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.4.17.1

Faktorisiere $18769$ aus $2571353$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{18769 (137)}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.17.2

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{137^{2} \cdot 137}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- (137 \sqrt{137})) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.19

Mutltipliziere $137$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- 137 \sqrt{137}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.20

Mutltipliziere $- 137$ mit $12$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.21

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{137}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.22

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 1 {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.23

Mutltipliziere ${\sqrt{137}}^{4}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24

Schreibe ${\sqrt{137}}^{4}$ als $137^{2}$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.4.24.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{4}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.4.24.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.4.24.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{1}}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.24.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{2}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.4.25

Potenziere $137$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.5

Addiere $81$ und $7398$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{7479 - 108 \sqrt{137} - 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.6

Addiere $7479$ und $18769$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 - 108 \sqrt{137} - 1644 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.7

Subtrahiere $1644 \sqrt{137}$ von $- 108 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{26248 - 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26248 - 1752 \sqrt{137}$ und $4096$ .

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Schritt 20.2.1.8.1

Faktorisiere $8$ aus $26248$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) - 1752 \sqrt{137}}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.8.2

Faktorisiere $8$ aus $- 1752 \sqrt{137}$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281) + 8 (- 219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.8.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (3281) + 8 (- 219 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{4096}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.1.8.4.1

Faktorisiere $8$ aus $4096$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 3 (\frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512}) - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.9

Kombiniere $3$ und $\frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.11

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.12

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{137})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.13.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{137})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 20.2.1.13.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.13.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

Schritt 20.2.1.13.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 3^{3} (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 + 27 (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {(- \sqrt{137})}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{137}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 (1 {\sqrt{137}}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.8

Mutltipliziere ${\sqrt{137}}^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {\sqrt{137}}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.9

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 20.2.1.13.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.1.13.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.10

Mutltipliziere $9$ mit $137$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{137}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.13

Schreibe ${\sqrt{137}}^{3}$ als $\sqrt{137^{3}}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{137^{3}}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.14

Potenziere $137$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{2571353}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.15

Schreibe $2571353$ als $137^{2} \cdot 137$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.13.15.1

Faktorisiere $18769$ aus $2571353$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{18769 (137)}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.15.2

Schreibe $18769$ als $137^{2}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{137^{2} \cdot 137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - (137 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.13.17

Mutltipliziere $137$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.14

Addiere $27$ und $1233$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 - 27 \sqrt{137} - 137 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.15

Subtrahiere $137 \sqrt{137}$ von $- 27 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{1260 - 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1260 - 164 \sqrt{137}$ und $512$ .

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Schritt 20.2.1.16.1

Faktorisiere $4$ aus $1260$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) - 164 \sqrt{137}}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.16.2

Faktorisiere $4$ aus $- 164 \sqrt{137}$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315) + 4 (- 41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.16.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (315) + 4 (- 41 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{512} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.16.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.1.16.4.1

Faktorisiere $4$ aus $512$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.16.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.16.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - 3 \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.17

Kombiniere $- 3$ und $\frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} + \frac{- 3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{(3) (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

Schritt 20.2.1.19

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 5$

Schritt 20.2.1.20

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 12 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} + 5$

Schritt 20.2.1.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 20.2.1.21.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + 4 (- 3) (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64}) + 5$

Schritt 20.2.1.21.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Schritt 20.2.1.21.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

Schritt 20.2.1.21.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.22

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 {(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.23

Schreibe ${(3 - \sqrt{137})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 ((3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.24

Multipliziere $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 20.2.1.24.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 (3 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.24.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.24.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 20.2.1.25.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.2.1.25.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.4

Multipliziere $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ .

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Schritt 20.2.1.25.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.4.3

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.4.4

Potenziere $\sqrt{137}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.5

Schreibe ${\sqrt{137}}^{2}$ als $137$ um.

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Schritt 20.2.1.25.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{137}$ als $137^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.1.25.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.2

Addiere $9$ und $137$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.25.3

Subtrahiere $3 \sqrt{137}$ von $- 3 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (146 - 6 \sqrt{137})}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.26

Kürze den gemeinsamen Teiler von $146 - 6 \sqrt{137}$ und $16$ .

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Schritt 20.2.1.26.1

Faktorisiere $2$ aus $- 3 (146 - 6 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{16} + 5$

Schritt 20.2.1.26.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.2.1.26.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} + 5$

Schritt 20.2.1.26.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{2 (- 3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} + 5$

Schritt 20.2.1.26.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} + \frac{- 3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 20.2.1.27

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 20.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - (\frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 20.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 (315 - 41 \sqrt{137})}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 5$

Schritt 20.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} \cdot \frac{64}{64}) + 5$

Schritt 20.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8}$ mit $\frac{64}{64}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + 5$

Schritt 20.2.2.5

Schreibe $5$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1}$

Schritt 20.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{512}{512}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1} \cdot \frac{512}{512}$

Schritt 20.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{5}{1}$ mit $\frac{512}{512}$ .

Schritt 20.2.2.8

Stelle die Faktoren von $128 \cdot 4$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.2.10

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137})}{512} - \frac{3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{512} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 (3281 - 219 \sqrt{137}) - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3 \cdot 3281 + 3 (- 219 \sqrt{137}) - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3281$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 + 3 (- 219 \sqrt{137}) - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.3

Mutltipliziere $- 219$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3 (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 315 - 3 (- 41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $315$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} + (- 945 - 3 (- 41 \sqrt{137})) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.6

Mutltipliziere $- 41$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} + (- 945 + 123 \sqrt{137}) \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 945 \cdot 4 + 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.8

Mutltipliziere $- 945$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 123 \sqrt{137} \cdot 4 - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $123$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 3 (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 73 - 3 (- 3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $73$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} + (- 219 - 3 (- 3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} + (- 219 + 9 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.13

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 219 \cdot 64 + 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.14

Mutltipliziere $- 219$ mit $64$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 14016 + 9 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.15

Mutltipliziere $64$ mit $9$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 14016 + 576 \sqrt{137} + 5 \cdot 512}{512}$

Schritt 20.2.4.16

Mutltipliziere $5$ mit $512$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{9843 - 657 \sqrt{137} - 3780 + 492 \sqrt{137} - 14016 + 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Schritt 20.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 20.2.5.1

Subtrahiere $3780$ von $9843$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{6063 - 657 \sqrt{137} + 492 \sqrt{137} - 14016 + 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Schritt 20.2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 20.2.5.2.1

Subtrahiere $14016$ von $6063$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 7953 - 657 \sqrt{137} + 492 \sqrt{137} + 576 \sqrt{137} + 2560}{512}$

Schritt 20.2.5.2.2

Addiere $- 7953$ und $2560$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 - 657 \sqrt{137} + 492 \sqrt{137} + 576 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 20.2.5.3

Addiere $- 657 \sqrt{137}$ und $492 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 - 165 \sqrt{137} + 576 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 20.2.5.4

Addiere $- 165 \sqrt{137}$ und $576 \sqrt{137}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 20.2.5.5

Schreibe $- 5393$ als $- 1 (5393)$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 + 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 20.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $411 \sqrt{137}$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 5393 - (- 411 \sqrt{137})}{512}$

Schritt 20.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (5393) - (- 411 \sqrt{137})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 (5393 - 411 \sqrt{137})}{512}$

Schritt 20.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = - \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 20.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$ .

$y = - \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512}$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x^{4} - 3 x^{3} - 12 x^{2} + 5$ .

$(0, 5)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 + \sqrt{137}}{8}, - \frac{5393 + 411 \sqrt{137}}{512})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 - \sqrt{137}}{8}, - \frac{5393 - 411 \sqrt{137}}{512})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 22