Analysis Beispiele

$y = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Schritt 1

Schreibe $y = 5 (1 - e^{- 2 x})$ als Funktion.

$f (x) = 5 (1 - e^{- 2 x})$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 (1 - e^{- 2 x})$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - e^{- 2 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Schritt 2.1.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- 2 x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$5 (- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$- 5 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 5$ .

$10 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 e^{- 2 x} \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 e^{- 2 x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 e^{- 2 x}$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 2 x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 10 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$f'' (x) = 10 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $10$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} x$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \cdot 1$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$10 e^{- 2 x} = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7