Analysis Beispiele

$y = 4 x - 6 \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 x - 6 \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 6 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Schritt 2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 - \frac{6}{x}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{6}{x} + 4$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{6}{x} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{6}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{x}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} x^{- 1} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 6 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 2} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{2}}) + 0$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}} + 0$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $\frac{6}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{2}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 6 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x)]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 - 6 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 5.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$4 - 6 \frac{1}{x}$

Schritt 5.1.3.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{- 6}{x}$

Schritt 5.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 - \frac{6}{x}$

Schritt 5.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{6}{x} + 4$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{6}{x} + 4$ .

$- \frac{6}{x} + 4$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6}{x} + 4 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{6}{x} + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{6}{x} = - 4$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{6}{x} = - 4$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{6}{x} = - 4$ mit $x$ .

$- \frac{6}{x} x = - 4 x$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{x}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6}{x} x = - 4 x$

Schritt 6.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 = - 4 x$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x = - 6$ um.

$- 4 x = - 6$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 6$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 6$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 4}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 4$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6$ heraus.

$x = \frac{- 2 (3)}{- 4}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2 \cdot 2}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{6}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$\frac{6}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 10.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{6}{\frac{9}{4}}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$6 (\frac{4}{9})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) \frac{4}{9}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2 \frac{4}{3 \cdot 3}$

Schritt 10.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{3})$

Schritt 10.4

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{3}$

Schritt 11

$x = \frac{3}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (2) (\frac{3}{2}) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 12.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 12.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 3 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - 6 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 12.2.1.3

Vereinfache $- 6 \ln (\frac{3}{2})$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln ({(\frac{3}{2})}^{6})$

Schritt 12.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{3^{6}}{2^{6}})$

Schritt 12.2.1.5

Potenziere $3$ mit $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{2^{6}})$

Schritt 12.2.1.6

Potenziere $2$ mit $6$ .

$f (\frac{3}{2}) = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Schritt 12.2.2

Die endgültige Lösung ist $6 - \ln (\frac{729}{64})$ .

$y = 6 - \ln (\frac{729}{64})$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 x - 6 \ln (x)$ .

$(\frac{3}{2}, 6 - \ln (\frac{729}{64}))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14