Analysis Beispiele

$y = 4 x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 x + \frac{1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Schritt 2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $\frac{2}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 - x^{- 2}$

Schritt 5.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 6.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x^{2} = - 1$ um.

$- 4 x^{2} = - 1$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 6.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 6.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 6.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 6.5.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.5.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 6.5.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(\frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{2}{\frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 10.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{\frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 10.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{\frac{1}{8}}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 \cdot 8$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16$

Schritt 11

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = 2 (2) (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{1}{2})) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = 2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{1}{2}) = 2 + 1 \cdot 2$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 + 2$

Schritt 12.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{2}{{(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{- {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Schritt 14.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{2}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Schritt 14.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2}{- \frac{1}{2^{3}}}$

Schritt 14.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{- \frac{1}{8}}$

Schritt 14.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 (- 1 \cdot 8)$

Schritt 14.3

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 8)$ .

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$2 \cdot - 8$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- 16$

Schritt 15

$x = - \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (2) (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 16.2.1.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 + \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - (1 \cdot 2)$

Schritt 16.2.1.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 16.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 1 \cdot 2$

Schritt 16.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 2 - 2$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 4$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{2}, 4)$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{1}{2}, - 4)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18