Analysis Beispiele

$y = 4 \sec (x)$

Schritt 1

Schreibe $y = 4 \sec (x)$ als Funktion.

$f (x) = 4 \sec (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sec (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec (x) \tan (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sec (x) \tan (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sec (x) \tan (x))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \frac{d}{d x} (\tan (x)) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 3.4

Multipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1

Potenziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 3.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Schritt 3.6

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Schritt 3.7

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \tan (x) \sec (x))$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 4 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Schritt 3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 4 \sec^{3} (x) + 4 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Schritt 3.10.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (x) \sec (x) + 4 \sec^{3} (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 \sec (x) \tan (x) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Schritt 6

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze $\sec (x)$ gleich $0$ .

$\sec (x) = 0$

Schritt 6.2

Der Wertebereich des Sekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 7

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze $\tan (x)$ gleich $0$ .

$\tan (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\tan (x) = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + 0$

Schritt 7.2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$x = π$

Schritt 7.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 \sec (x) \tan (x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, π$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \tan^{2} (0) \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Schritt 10.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 \sec (0) + 4 \sec^{3} (0)$

Schritt 10.1.4

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 \sec^{3} (0)$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (0)$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 + 4 \cdot 1^{3}$

Schritt 10.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 4 \cdot 1$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$0 + 4$

Schritt 10.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 4 \sec (0)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (0) = 4$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 \tan^{2} (π) \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$4 {(- \tan (0))}^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$4 {(- 0)}^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 \cdot 0^{2} \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 \sec (π) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sekans im zweiten Quadranten negativ ist.

$0 (- \sec (0)) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.7

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.8

Multipliziere $0 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 \cdot - 1 + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 + 4 \sec^{3} (π)$

Schritt 14.1.9

$0 + 4 {(- \sec (0))}^{3}$

Schritt 14.1.10

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$0 + 4 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

Schritt 14.1.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 4 {(- 1)}^{3}$

Schritt 14.1.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$0 + 4 \cdot - 1$

Schritt 14.1.13

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$0 - 4$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$- 4$

Schritt 15

$x = π$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = π$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = π$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = 4 \sec (π)$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

$f (π) = 4 (- \sec (0))$

Schritt 16.2.2

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$f (π) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.2.3

Multipliziere $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = 4 \cdot - 1$

Schritt 16.2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (π) = - 4$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 \sec (x)$ .

$(0, 4)$ ist ein lokales Minimum

$(π, - 4)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18