Analysis Beispiele

$y = - 5 x + e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $y = - 5 x + e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = - 5 x + e^{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 5 + e^{x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere.

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Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 3.1.2

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 + e^{x}$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$f'' (x) = e^{x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 5 + e^{x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 5 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = - 5 + e^{x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 5 + e^{x}$ .

$- 5 + e^{x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 5 + e^{x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 5 + e^{x} = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 5$

Schritt 6.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (5)$

Schritt 6.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 6.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (5)$

Schritt 6.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (5)$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (5)$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \ln (5)$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \ln (5)$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$e^{\ln (5)}$

Schritt 10

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$5$

Schritt 11

$x = \ln (5)$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \ln (5)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \ln (5)$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\ln (5)$ .

$f (\ln (5)) = - 5 \ln (5) + e^{\ln (5)}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Vereinfache $- 5 \ln (5)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\ln (5)) = - \ln (5^{5}) + e^{\ln (5)}$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $5$ mit $5$ .

$f (\ln (5)) = - \ln (3125) + e^{\ln (5)}$

Schritt 12.2.1.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\ln (5)) = - \ln (3125) + 5$

Schritt 12.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \ln (3125) + 5$ .

$y = - \ln (3125) + 5$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - 5 x + e^{x}$ .

$(\ln (5), - \ln (3125) + 5)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14