Analysis Beispiele

$y = - \cos (4 x - π)$

Schritt 1

Schreibe $y = - \cos (4 x - π)$ als Funktion.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (4 x - π)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 x - π$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\sin (4 x - π)$ mit $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Schritt 2.3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Schritt 2.3.7

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.8.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Schritt 2.3.8.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (4 x - π)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x - π$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - π$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Schritt 3.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Schritt 3.3.5

Da $- π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- π$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (4 x - π) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sin (4 x - π) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\sin (4 x - π)$ durch $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Schritt 6

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$4 x - π = 0$

Schritt 8

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = π$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 10

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$4 x - π = π - 0$

Schritt 11

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$4 x - π = π$

Schritt 11.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 11.2.1

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = π + π$

Schritt 11.2.2

Addiere $π$ und $π$ .

$4 x = 2 π$

Schritt 11.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2 π$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 2 π$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 11.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Schritt 11.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Schritt 11.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 11.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Schritt 11.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 12

Die Lösung der Gleichung $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Schritt 14.1.2

Forme den Ausdruck um.

$16 \cos (π - π)$

Schritt 14.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$16 \cos (0)$

Schritt 14.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$16 \cdot 1$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16$

Schritt 15

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 16.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Schritt 16.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Schritt 16.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Schritt 16.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Schritt 16.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$y = - 1$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Schritt 18.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Schritt 18.1.3

Forme den Ausdruck um.

$16 \cos (2 π - π)$

Schritt 18.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Schritt 18.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$16 (- \cos (0))$

Schritt 18.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 18.5

Multipliziere $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 18.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$16 \cdot - 1$

Schritt 18.5.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$- 16$

Schritt 19

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Schritt 20.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Schritt 20.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Schritt 20.2.2

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Schritt 20.2.3

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Schritt 20.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 20.2.5

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 20.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 20.2.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 20.2.6

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 21

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{π}{2}, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 22