Analysis Beispiele

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 1

Schreibe $y = \cot (12 π x - 3 x)$ als Funktion.

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $12 π x - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cot (u)$ nach $u$ ist $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $12 π x - 3 x$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 π x - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.2.2

Da $12 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 π x$ nach $x$ gleich $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 2.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $- (12 π - 3)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ nach $x$ gleich $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.6

Potenziere $\csc (12 π x - 3 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.7

Potenziere $\csc (12 π x - 3 x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 π x - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Schritt 3.11

Da $12 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 π x$ nach $x$ gleich $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Schritt 3.13

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Schritt 3.14

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

Schritt 3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Schritt 3.16

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Schritt 3.17

Potenziere $12 π - 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 3.18

Potenziere $12 π - 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 3.21

Stelle die Faktoren von $2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ um.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ durch $- 12 π + 3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ durch $- 12 π + 3$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 π - 3$ und $- 12 π + 3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ heraus.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 π$ heraus.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 4 π) + 3 (1)$ heraus.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 π - 1$ und $- 4 π + 1$ .

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 π$ heraus.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 4 π) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.2.4

Schreibe $- (- 4 π + 1)$ als $- 1 (- 4 π + 1)$ um.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.2.6

Dividiere $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ durch $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ mit $1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $- 12 π + 3$ .

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12 π$ heraus.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

Schritt 5.3.1.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

Schritt 5.3.1.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- 4 π) + 3 (1)$ heraus.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

Schritt 5.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

Schritt 5.3.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $0$ durch $- 4 π + 1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

Schritt 6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

Schritt 7.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

Schritt 8

Der Wertebereich des Kosekans ist $y \leq - 1$ und $y \geq 1$ . Da $0$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x =$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Berechne $\csc (12 π - 3)$ .

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 7.08616739$ mit $2$ .

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $50.21376836$ .

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.2.3

Schreibe ${(12 π - 3)}^{2}$ als $(12 π - 3) (12 π - 3)$ um.

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.3

Multipliziere $(12 π - 3) (12 π - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1.1

Multipliziere $12 π (12 π)$ .

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Schritt 10.4.1.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.1.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.1.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $36 π$ von $- 36 π$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $100.42753672$ mit $144 π^{2} - 72 π + 9$ .

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

Schritt 10.6

Berechne $\cot (12 π - 3)$ .

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

Schritt 10.7

Mutltipliziere $120917.6026078$ mit $7.01525255$ .

$848267.52020773$

Schritt 11

$x =$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x =$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13