Analysis Beispiele

$y = x (81 - x) (54 - x)$

Schritt 1

Schreibe $y = x (81 - x) (54 - x)$ als Funktion.

$f (x) = x (81 - x) (54 - x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x (81 - x)$ und $g (x) = 54 - x$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $54 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.2

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $54$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.2.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.2

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Schritt 2.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.4.8.1

Mutltipliziere $81 - x$ mit $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Schritt 2.4.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Schritt 2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.5.1

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.13

Addiere $1$ und $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.14

Mutltipliziere $54$ mit $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Schritt 2.5.5.15

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Schritt 2.5.5.16

Subtrahiere $81 x$ von $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Schritt 2.5.5.17

Subtrahiere $189 x$ von $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Schritt 2.5.5.18

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 270 x + 4374$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 270 x] + \frac{d}{d x} [4374]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 270 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 270$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 270 x$ nach $x$ gleich $- 270 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 270$ mit $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + \frac{d}{d x} (4374)$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $4374$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4374$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $6 x - 270$ und $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $54 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.2

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $54$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.2.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Schritt 5.1.3

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4

Differenziere.

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Schritt 5.1.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.2

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Schritt 5.1.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.1.4.8.1

Mutltipliziere $81 - x$ mit $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Schritt 5.1.4.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Schritt 5.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Schritt 5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Schritt 5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Schritt 5.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.5.1

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.13

Addiere $1$ und $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.14

Mutltipliziere $54$ mit $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Schritt 5.1.5.5.15

Mutltipliziere $81$ mit $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Schritt 5.1.5.5.16

Subtrahiere $81 x$ von $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Schritt 5.1.5.5.17

Subtrahiere $189 x$ von $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Schritt 5.1.5.5.18

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 270 x + 4374$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} - 270 x + 4374$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$3 (x^{2}) - 270 x + 4374 = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 270 x$ heraus.

$3 (x^{2}) + 3 (- 90 x) + 4374 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $3$ aus $4374$ heraus.

$3 x^{2} + 3 (- 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2} + 3 (- 90 x)$ heraus.

$3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458$ heraus.

$3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 90 x + 1458$ durch $1$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = 0$

Schritt 6.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 90$ und $c = 1458$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{90 \pm \sqrt{{(- 90)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1458)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6

Vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $- 90$ mit $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.3

Subtrahiere $5832$ von $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $2268$ als $18^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 6.6.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $2268$ heraus.

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Schritt 6.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.1.1

Potenziere $- 90$ mit $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.3

Subtrahiere $5832$ von $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4

Schreibe $2268$ als $18^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $2268$ heraus.

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6.7.3

Vereinfache $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Schritt 6.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$

Schritt 6.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.8.1.1

Potenziere $- 90$ mit $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Schritt 6.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.3

Subtrahiere $5832$ von $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.4

Schreibe $2268$ als $18^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 6.8.1.4.1

Faktorisiere $324$ aus $2268$ heraus.

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.4.2

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 6.8.3

Vereinfache $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Schritt 6.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (45 + 9 \sqrt{7}) - 270$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 45 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $45$ .

$270 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$270 + 54 \sqrt{7} - 270$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $270$ von $270$ .

$0 + 54 \sqrt{7}$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $54 \sqrt{7}$ .

$54 \sqrt{7}$

Schritt 11

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $45 + 9 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - (45 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.1.2

Subtrahiere $45$ von $81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.2

Multipliziere $(45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 (36 - 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.3.1.1

Mutltipliziere $45$ mit $36$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.4

Multipliziere $9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

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Schritt 12.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 12.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 81$ mit $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.2

Subtrahiere $567$ von $1620$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.3.3

Addiere $- 405 \sqrt{7}$ und $324 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (9 \sqrt{7}))$

Schritt 12.2.4.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.4.2

Subtrahiere $45$ von $54$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.5

Multipliziere $(1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 - 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.6.1.1

Mutltipliziere $1053$ mit $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $1053$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.6.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Schritt 12.2.6.1.4

Multipliziere $- 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.6.1.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Schritt 12.2.6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Schritt 12.2.6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Schritt 12.2.6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Schritt 12.2.6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Schritt 12.2.6.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 12.2.6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 12.2.6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Schritt 12.2.6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Schritt 12.2.6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Schritt 12.2.6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Schritt 12.2.6.1.6

Mutltipliziere $729$ mit $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 5103$

Schritt 12.2.6.2

Addiere $9477$ und $5103$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7}$

Schritt 12.2.6.3

Subtrahiere $729 \sqrt{7}$ von $- 9477 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Schritt 12.2.7

Die endgültige Lösung ist $14580 - 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (45 - 9 \sqrt{7}) - 270$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \cdot 45 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $45$ .

$270 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $6$ .

$270 - 54 \sqrt{7} - 270$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $270$ von $270$ .

$0 - 54 \sqrt{7}$

Schritt 14.2.2

Subtrahiere $54 \sqrt{7}$ von $0$ .

$- 54 \sqrt{7}$

Schritt 15

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $45 - 9 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - (45 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.1.2

Subtrahiere $45$ von $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.2

Multipliziere $(45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 (36 + 9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 16.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.3.1.1

Mutltipliziere $45$ mit $36$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.4

Multipliziere $- 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.1.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 81$ mit $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.2

Subtrahiere $567$ von $1620$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.3.3

Subtrahiere $324 \sqrt{7}$ von $405 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Schritt 16.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 + 9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.4.2

Subtrahiere $45$ von $54$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.5

Multipliziere $(1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 + 9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.6.1.1

Mutltipliziere $1053$ mit $9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.6.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $1053$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.6.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Schritt 16.2.6.1.4

Multipliziere $81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.6.1.4.1

Mutltipliziere $9$ mit $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Schritt 16.2.6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Schritt 16.2.6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Schritt 16.2.6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Schritt 16.2.6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Schritt 16.2.6.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 16.2.6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 16.2.6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Schritt 16.2.6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Schritt 16.2.6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Schritt 16.2.6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Schritt 16.2.6.1.6

Mutltipliziere $729$ mit $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 5103$

Schritt 16.2.6.2

Addiere $9477$ und $5103$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7}$

Schritt 16.2.6.3

Addiere $9477 \sqrt{7}$ und $729 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Schritt 16.2.7

Die endgültige Lösung ist $14580 + 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x (81 - x) (54 - x)$ .

$(45 + 9 \sqrt{7}, 14580 - 10206 \sqrt{7})$ ist ein lokales Minimum

$(45 - 9 \sqrt{7}, 14580 + 10206 \sqrt{7})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18