Analysis Beispiele

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Schritt 1

Schreibe $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ als Funktion.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 250$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ nach $x$ gleich $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 25}$ als ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ um.

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Schritt 2.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Schritt 2.2.6

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Schritt 2.2.7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $500$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ und $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $500$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ nach $x$ gleich $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.7

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere ${(x^{2} + 25)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.9

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.15

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.16

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.16.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.17

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ heraus.

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Schritt 3.2.17.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus ${(x^{2} + 25)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.17.2

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ heraus.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.17.3

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.18

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.19.1

Faktorisiere $x^{2} + 25$ aus ${(x^{2} + 25)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.20

Kombiniere $500$ und $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $500$ mit $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2.3

Addiere $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $500$ aus $- 1500 x^{2} + 12500$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $500$ aus $- 1500 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $500$ aus $12500$ heraus.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $500$ aus $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $25$ als $- 1 (- 25)$ um.

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 25)$ als $- 1 (3 x^{2} - 25)$ um.

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 250$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ nach $x$ gleich $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 25}$ als ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ um.

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Schritt 5.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Schritt 5.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Schritt 5.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Schritt 5.1.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Schritt 5.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Schritt 5.1.2.6

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Schritt 5.1.2.7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Schritt 5.1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Schritt 5.1.2.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Schritt 5.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.3.2.1

Kombiniere $500$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Schritt 5.1.3.2.2

Kombiniere $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ und $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Schritt 6.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 5, - 1.47798871$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $25$ von $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $25$ und $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $50$ mit $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $500$ mit $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25000$ und $125000$ .

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Schritt 10.3.2.1

Faktorisiere $25000$ aus $25000$ heraus.

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Schritt 10.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.2.2.1

Faktorisiere $25000$ aus $125000$ heraus.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Schritt 10.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Schritt 10.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{5}$

Schritt 11

$x = - 5$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 5$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 5$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Schritt 12.2.1.1.2

Addiere $25$ und $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Schritt 12.2.1.2

Dividiere $250$ durch $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$y = - 10$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1.47798871$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $- 1.47798871$ mit $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 14.1.3

Subtrahiere $25$ von $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Potenziere $- 1.47798871$ mit $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Schritt 14.2.2

Addiere $2.18445063$ und $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Schritt 14.2.3

Potenziere $27.18445063$ mit $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $500$ mit $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Schritt 14.3.2

Dividiere $- 9223.32404202$ durch $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Schritt 14.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Schritt 15

$x = - 1.47798871$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1.47798871$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1.47798871$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1.1.1

Potenziere $- 1.47798871$ mit $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Schritt 16.2.1.1.2

Addiere $2.18445063$ und $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Schritt 16.2.1.2

Dividiere $250$ durch $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Schritt 16.2.2

Subtrahiere $9.19643377$ von $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ ist ein lokales Maximum

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18