Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \sqrt[3]{x}$ , $[0, 8]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 8]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (\int_{0}^{8} 5 \sqrt[3]{x} d x)$

Schritt 5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \int_{0}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{8}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{8}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ bei $8$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 2^{4}}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{48}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $4$ .

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Schritt 8.2.2.6.1

Faktorisiere $4$ aus $48$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (\frac{12}{1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.6.2.4

Dividiere $12$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.7

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4}))$

Schritt 8.2.2.8

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Schritt 8.2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4}))$

Schritt 8.2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4}))$

Schritt 8.2.2.10

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{3 \cdot 0}{4}))$

Schritt 8.2.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{4}))$

Schritt 8.2.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 8.2.2.12.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 (0)}{4}))$

Schritt 8.2.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.12.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - \frac{0}{1}))$

Schritt 8.2.2.12.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 - 0))$

Schritt 8.2.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 (12 + 0))$

Schritt 8.2.2.14

Addiere $12$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (5 \cdot 12)$

Schritt 8.2.2.15

Mutltipliziere $5$ mit $12$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 0} (60)$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8 + 0} \cdot 60$

Schritt 9.2

Addiere $8$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot 60$

Schritt 10

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 (2)} \cdot 60$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot 15)$

Schritt 10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 15$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $15$ .

$A (x) = \frac{15}{2}$

Schritt 11