Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 7$ , $[0, 9]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 9]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} x^{2} - 7 d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\int_{0}^{9} x^{2} d x + \int_{0}^{9} - 7 d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9} + \int_{0}^{9} - 7 d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9} + - 7 x]_{0}^{9})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{9}$ und $- 7 x]_{0}^{9}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} - 7 x]_{0}^{9})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} - 7 x$ bei $9$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 9^{3} - 7 \cdot 9) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 729 - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $729$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{729}{3} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $3$ .

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Schritt 8.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{3 \cdot 243}{3} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (\frac{243}{1} - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.3.2.4

Dividiere $243$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (243 - 7 \cdot 9 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (243 - 63 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.5

Subtrahiere $63$ von $243$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (0 - 7 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.8

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - (0 + 0))$

Schritt 8.2.2.9

Addiere $0$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 - 0)$

Schritt 8.2.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180 + 0)$

Schritt 8.2.2.11

Addiere $180$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 0} (180)$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9 + 0} \cdot 180$

Schritt 9.2

Addiere $9$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot 180$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 10.1

Faktorisiere $9$ aus $180$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (9 (20))$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 20)$

Schritt 10.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 20$

Schritt 11