Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} - 13$ , $[0, \sqrt{26}]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, \sqrt{26}]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\int_{0}^{\sqrt{26}} x^{2} - 13 d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\int_{0}^{\sqrt{26}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{26}} - 13 d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}} + \int_{0}^{\sqrt{26}} - 13 d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}} + - 13 x]_{0}^{\sqrt{26}})$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{26}}$ und $- 13 x]_{0}^{\sqrt{26}}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} x^{3} - 13 x]_{0}^{\sqrt{26}})$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} - 13 x$ bei $\sqrt{26}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} ((\frac{1}{3} \cdot {\sqrt{26}}^{3} - 13 \sqrt{26}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{26}}^{3}$ als $\sqrt{26^{3}}$ um.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{26^{3}} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $26$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{17576} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{17576}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - 13 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (\frac{1}{3} \cdot 0 - 13 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (0 - 13 \cdot 0))$

Schritt 8.2.2.6

Mutltipliziere $- 13$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - (0 + 0))$

Schritt 8.2.2.7

Addiere $0$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} - 0)$

Schritt 8.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26} + 0)$

Schritt 8.2.2.9

Addiere $\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{17576}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Schreibe $17576$ als $26^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $676$ aus $17576$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{676 (26)}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Schritt 8.3.1.2

Schreibe $676$ als $26^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{\sqrt{26^{2} \cdot 26}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Schritt 8.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} - 13 \sqrt{26})$

Schritt 8.3.3

Um $- 13 \sqrt{26}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} - 13 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.3.4

Kombiniere $- 13 \sqrt{26}$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 13 \sqrt{26} \cdot 3}{3})$

Schritt 8.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26} - 13 \sqrt{26} \cdot 3}{3})$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 13$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{26 \sqrt{26} - 39 \sqrt{26}}{3})$

Schritt 8.3.7

Subtrahiere $39 \sqrt{26}$ von $26 \sqrt{26}$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (\frac{- 13 \sqrt{26}}{3})$

Schritt 8.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} - 0} (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

Schritt 9

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26} + 0} \cdot (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

Schritt 9.2

Addiere $\sqrt{26}$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot (- \frac{13 \sqrt{26}}{3})$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{26}$ .

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Schritt 10.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{13 \sqrt{26}}{3}$ in den Zähler.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{- 13 \sqrt{26}}{3}$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $\sqrt{26}$ aus $- 13 \sqrt{26}$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26} \cdot - 13}{3}$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26} \cdot - 13}{3}$

Schritt 10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{- 13}{3}$

Schritt 10.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = - \frac{13}{3}$

Schritt 11