Analysis Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[- 1, 1]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 1.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 1.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Schritt 1.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt[3]{x}$

Schritt 1.2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ bei $1$ und $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.3

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Schritt 6.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 6.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Schritt 6.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Schritt 6.2.6

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Schritt 6.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Schritt 6.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Schritt 6.2.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Schritt 6.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 6.2.10.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Schritt 6.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 6.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Schritt 6.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Schritt 6.2.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$A (x) = 0$

Schritt 9