Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[1, 2]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 2]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 7.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 7.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

Schritt 7.2.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 11