Analysis Beispiele

$f (x) = 16 - x^{2}$ , $[- 4, 4]$

Schritt 1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[- 4, 4]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\int_{- 4}^{4} 16 - x^{2} d x)$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\int_{- 4}^{4} 16 d x + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} + \int_{- 4}^{4} - x^{2} d x)$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} - \int_{- 4}^{4} x^{2} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{4}))$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 x]_{- 4}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $16 x$ bei $4$ und $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} ((16 \cdot 4) - 16 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{4}))$

Schritt 9.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $4$ und $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (16 \cdot 4 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3

Vereinfache.

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Schritt 9.2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (64 - 16 \cdot - 4 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (64 + 64 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.3

Addiere $64$ und $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}))$

Schritt 9.2.3.5

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} - \frac{- 64}{3}))$

Schritt 9.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Schritt 9.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{64}{3})))$

Schritt 9.2.3.8

Mutltipliziere $\frac{64}{3}$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - (\frac{64}{3} + \frac{64}{3}))$

Schritt 9.2.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - \frac{64 + 64}{3})$

Schritt 9.2.3.10

Addiere $64$ und $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 - \frac{128}{3})$

Schritt 9.2.3.11

Um $128$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (128 \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Schritt 9.2.3.12

Kombiniere $128$ und $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{128 \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

Schritt 9.2.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{128 \cdot 3 - 128}{3})$

Schritt 9.2.3.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.3.14.1

Mutltipliziere $128$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{384 - 128}{3})$

Schritt 9.2.3.14.2

Subtrahiere $128$ von $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 4} (\frac{256}{3})$

Schritt 10

Addiere $4$ und $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{256}{3}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $8$ aus $256$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (32)}{3}$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 32}{3}$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{32}{3}$

Schritt 12