Analysis Beispiele

$f (x) = - 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 = x$ um.

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 = x$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 - x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x$ von $50 x$ .

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 49 x + 70 y - 200 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = - x + 70$ und $c = - 2 x^{2} + 49 x - 200$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- x + 70) \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200))}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.4

Schreibe ${(- x + 70)}^{2}$ als $(- x + 70) (- x + 70)$ um.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.5

Multipliziere $(- x + 70) (- x + 70)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.5

Mutltipliziere $70$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.1.7

Mutltipliziere $70$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $70 x$ von $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.9

Vereinfache.

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Schritt 5.1.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.9.2

Mutltipliziere $49$ mit $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.9.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.10

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.11

Addiere $- 140 x$ und $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.1.12

Subtrahiere $2400$ von $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Schritt 5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe ${(- x + 70)}^{2}$ als $(- x + 70) (- x + 70)$ um.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $(- x + 70) (- x + 70)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.5

Mutltipliziere $70$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.1.7

Mutltipliziere $70$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.6.2

Subtrahiere $70 x$ von $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.9

Vereinfache.

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Schritt 6.1.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.9.2

Mutltipliziere $49$ mit $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.9.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.10

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.11

Addiere $- 140 x$ und $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.1.12

Subtrahiere $2400$ von $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - \frac{x - 70 + \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe ${(- x + 70)}^{2}$ als $(- x + 70) (- x + 70)$ um.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.5

Multipliziere $(- x + 70) (- x + 70)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.5

Mutltipliziere $70$ mit $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.1.7

Mutltipliziere $70$ mit $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.6.2

Subtrahiere $70 x$ von $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.9.2

Mutltipliziere $49$ mit $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.9.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.10

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.11

Addiere $- 140 x$ und $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.1.12

Subtrahiere $2400$ von $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Schritt 7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - \frac{x - 70 - \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{x - 70 + \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

$y = - \frac{x - 70 - \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Schritt 9

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 23 x^{2} + 448 x + 2500 \geq 0$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 23 x^{2} + 448 x + 2500 = 0$

Schritt 10.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.3

Setze die Werte $a = - 23$ , $b = 448$ und $c = 2500$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 448 \pm \sqrt{448^{2} - 4 \cdot (- 23 \cdot 2500)}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $448$ mit $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

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Schritt 10.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere $92$ mit $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.1.3

Addiere $200704$ und $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.1.4

Schreibe $430704$ als $12^{2} \cdot 2991$ um.

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Schritt 10.4.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $430704$ heraus.

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Potenziere $448$ mit $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.1.2.2

Mutltipliziere $92$ mit $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.1.3

Addiere $200704$ und $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.1.4

Schreibe $430704$ als $12^{2} \cdot 2991$ um.

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Schritt 10.5.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $430704$ heraus.

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1.1

Potenziere $448$ mit $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

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Schritt 10.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.1.2.2

Mutltipliziere $92$ mit $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.1.3

Addiere $200704$ und $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.1.4

Schreibe $430704$ als $12^{2} \cdot 2991$ um.

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Schritt 10.6.1.4.1

Faktorisiere $144$ aus $430704$ heraus.

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.1.4.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Schritt 10.6.3

Vereinfache $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 10.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 7$

Schritt 10.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 7$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 23 {(- 7)}^{2} + 448 (- 7) + 2500 \geq 0$

Schritt 10.9.1.3

Die linke Seite $- 1763$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.9.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 23 {(0)}^{2} + 448 (0) + 2500 \geq 0$

Schritt 10.9.2.3

Die linke Seite $2500$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 27$

Schritt 10.9.3.2

Ersetze $x$ durch $27$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 23 {(27)}^{2} + 448 (27) + 2500 \geq 0$

Schritt 10.9.3.3

Die linke Seite $- 2171$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ Falsch

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Wahr

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Falsch

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ Falsch

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Wahr

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Falsch

Schritt 10.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}}$

Schritt 12

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[\frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23}, \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | \frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23} \leq y \leq \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}}$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}], {x | \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}}$

Wertebereich: $[\frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23}, \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}], {y | \frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23} \leq y \leq \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}}$

Schritt 14