Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 = x$ um.

$2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 = x$

Schritt 2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 - x = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2 x$ und $c = 2 x^{2} + 4 - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2

Es sei $u = 2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ . Ersetze $u$ für alle $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

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Schritt 5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.5.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Es sei $u = 2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ . Ersetze $u$ für alle $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Ersetze alle $u$ durch $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2

Es sei $u = 2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ . Ersetze $u$ für alle $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

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Schritt 7.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4

Ersetze alle $u$ durch $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5

Vereinfache.

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Schritt 7.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.6

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{x + \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Schritt 9

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 3 x^{2} + 2 x - 8 \geq 0$

Schritt 10

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Schritt 10.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10.3

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = 2$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4

Vereinfache.

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Schritt 10.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot - 8$ .

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Schritt 10.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.3

Subtrahiere $96$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.4

Schreibe $- 92$ als $- 1 (92)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (92)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.7

Schreibe $92$ als $2^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 10.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $92$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$

Schritt 10.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{3}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot - 8$ .

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Schritt 10.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.3

Subtrahiere $96$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.4

Schreibe $- 92$ als $- 1 (92)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (92)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.7

Schreibe $92$ als $2^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 10.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $92$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{3}$

Schritt 10.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{23}}{3}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot - 8$ .

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Schritt 10.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.3

Subtrahiere $96$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.4

Schreibe $- 92$ als $- 1 (92)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (92)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.7

Schreibe $92$ als $2^{2} \cdot 23$ um.

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Schritt 10.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $92$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$

Schritt 10.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{3}$

Schritt 10.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{23}}{3}$

Schritt 10.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 10.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$- 3 x^{2}$

Schritt 10.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$- 3$

Schritt 10.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet und $- 3 x^{2} + 2 x - 8$ ist immer kleiner als $0$ .

Keine Lösung

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 12

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 14