Analysis Beispiele

$a' (t) = (\frac{15}{2}) \sqrt{t} + 3 e^{- t}$

Schritt 1

Die Funktion $a (t)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $a' (t)$ .

$a (t) = \int a' (t) d t$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{15}{2}$ und $\sqrt{t}$ .

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} + 3 e^{- t} d t$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Schritt 4

Da $\frac{15}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{15}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{15}{2} \int \sqrt{t} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{15}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 e^{- t} d t$

Schritt 7

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int e^{- t} d t$

Schritt 8

Sei $u = - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u = - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 8.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int - e^{u} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 (- \int e^{u} d u)$

Schritt 10

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{30}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{30}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $6$ .

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Schritt 12.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$\frac{6 \cdot 5}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 \cdot 5}{6 (1)} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 12.2.4.2.4

Dividiere $5$ durch $1$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$

Schritt 14

Die Funktion $a$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$a (t) = 5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$