Analysis Beispiele

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ um.

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Schritt 2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2} - 3 y + 3$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ mit $y^{2} - 3 y + 3$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ mit $y^{2} - 3 y + 3$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} - 3 y + 3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = x y^{2} + x (- 3 y) + x \cdot 3$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + x \cdot 3$

Schritt 3.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 \cdot x$

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 x$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x = y - 1$

Schritt 4.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y = - 1$

Schritt 4.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y + 1 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = x$ , $b = - 3 x - 1$ und $c = 3 x + 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 3 x - 1) \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (3 x + 1))}}{2 x}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.4

Schreibe ${(- 3 x - 1)}^{2}$ als $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ um.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.5

Multipliziere $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.6.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.6.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.6.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.6.10.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.6.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.6.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.6.11

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.6.12

Subtrahiere $4 x$ von $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.13.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 4.6.13.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.13.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.13.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.13.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.13.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.6.13.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Schritt 4.6.13.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Schritt 4.7

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.4

Schreibe ${(- 3 x - 1)}^{2}$ als $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ um.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.5

Multipliziere $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.8.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.8.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.6.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.8.1.10.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.8.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.10.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.11

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.12

Subtrahiere $4 x$ von $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.13

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.8.1.13.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 4.8.1.13.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.13.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.13.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.13.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.8.1.13.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.13.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.1.13.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Schritt 4.8.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Schritt 4.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6.2

Setze $- 3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $- 3 x - 1$ gleich $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

Schritt 6.2.2

Löse $- 3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = 1$

Schritt 6.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 6.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 6.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Schritt 6.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 3}$

Schritt 6.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 6.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 3 \cdot - 3 - 1) ((- 3) - 1) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $- 32$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{3} < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{3} < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 3 \cdot 0 - 1) ((0) - 1) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 3 \cdot 4 - 1) ((4) - 1) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $- 39$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq 1$

Schritt 7

Setze den Nenner in $\frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = 0$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Schritt 10

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | y \in ℝ}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Wertebereich: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Schritt 12